По данному распределению выборки найти её эмпирическую функцию распределения

Предмет: Математика (статистика)

Раздел предмета: Теория вероятностей и математическая статистика.

Для решения задачи, нужно найти эмпирическую функцию распределения на основе данной выборки. Сначала введем данные:

• \(x_i\) — значения выборки
• \(n_i\) — количество этих значений (частоты)

Таблица:

Общая сумма элементов выборки: \[ N = \sum n_i = 10 + 15 + 25 = 50 \]

Эмпирическая функция распределения, \(F_n(x)\), определяется как доля наблюдений, меньше или равных \(x\).

Последовательно рассчитаем шаги построения функции распределения:

1. Для \(x < 1\): \[ F_n(x) = 0 \] Пока \(x\) меньше самого маленького наблюдения из выборки (единицы), функция равна нулю.
2. Для \(1 \leq x < 4\): \[ F_n(x) = \frac{10}{50} = 0.2 \] При \(x = 1\) или чуть больше, но меньше 4, мы учитываем только первую группу частоты (10 наблюдений).
3. Для \(4 \leq x < 6\): \[ F_n(x) = \frac{10 + 15}{50} = \frac{25}{50} = 0.5 \] При \(x = 4\) или чуть больше, но меньше 6, учитываем уже два первых ряда (10 + 15 наблюдений).
4. Для \(x \geq 6\): \[ F_n(x) = \frac{10 + 15 + 25}{50} = \frac{50}{50} = 1 \] Для \(x\), большего или равного 6, мы охвачиваем все элементы выборки (все 50 наблюдений).

Таким образом, функция распределения будет выглядеть следующим образом:

\[ F_n(x) = \begin{cases} 0, & x < 1 \\ \frac{10}{50} = 0.2, & 1 \leq x < 4 \\ \frac{25}{50} = 0.5, & 4 \leq x < 6 \\ 1, & x \geq 6 \end{cases} \]

Итак, мы получили эмпирическую функцию распределения для данной выборки.