Отметьте из предложенных свойств те, которые соответствуют функции распределения случайной величины

Предмет: Теория вероятностей
Раздел: Случайные величины и их распределения

Рассмотрим, какие свойства соответствуют функции распределения случайной величины. Под функцией распределения (иначе — функцией распределения вероятностей, или функцией распределения случайной величины) понимается функция:

F(x) = P(X \le x)

где X — случайная величина, а F(x) — вероятность того, что X примет значение, меньшее либо равное x.

Функция распределения обладает следующими свойствами:

1. Неубывающая — ✅
   Это основное свойство. Если x_1 < x_2, то F(x_1) \le F(x_2). Это логично, так как вероятность того, что X \le x, не может уменьшаться с увеличением x.

2. Неотрицательна — ✅
   Поскольку F(x) — это вероятность, она не может быть отрицательной. Более того, 0 \le F(x) \le 1.

3. Чётная — ❌
   Функция распределения не обязана быть чётной. Чётная функция удовлетворяет условию f(-x) = f(x), но это не выполняется для функции распределения в общем случае.

4. Область значений функции [0;1] — ✅
   Верно. Поскольку F(x) = P(X \le x), а вероятность всегда в пределах от 0 до 1, то область значений функции распределения — [0; 1].

5. Нечётная — ❌
   Аналогично пункту 3, функция распределения не является нечётной. Нечётная функция удовлетворяет f(-x) = -f(x), но это не имеет смысла для вероятностей.

6. Периодическая — ❌
   Функция распределения не является периодической. Периодичность означает, что F(x + T) = F(x) для некоторого периода T, что невозможно для функции, которая стремится к 1 при x \to \infty и к 0 при x \to -\infty.

Ответ:

✅ Неубывающая
✅ Неотрицательна
✅ Область значений функции [0;1]