Определите, чему равен коэффициент a

Предмет: Теория вероятностей
Раздел: Непрерывные случайные величины, плотность вероятности

Нам дана функция плотности вероятности непрерывной случайной величины:

 f(x) = \begin{cases} 0, & x \leq 1 \ a \cdot (x - 1), & 1 < x \leq 5 \ 0, & x > 5 \end{cases} 

Найти нужно коэффициент a.

Шаг 1: Условие нормировки

Плотность вероятности должна удовлетворять условию нормировки:

 \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx = 1 

Так как функция f(x) отлична от нуля только на отрезке (1, 5], интеграл можно записать как:

 \int_{1}^{5} a \cdot (x - 1) \, dx = 1 

Шаг 2: Вычислим интеграл

Вынесем a за знак интеграла:

 a \cdot \int_{1}^{5} (x - 1) \, dx = 1 

Вычислим определённый интеграл:

 \int_{1}^{5} (x - 1) \, dx = \left[ \frac{(x - 1)^2}{2} \right]_1^5 

Подставим пределы:

 \left. \frac{(x - 1)^2}{2} \right|_1^5 = \frac{(5 - 1)^2}{2} - \frac{(1 - 1)^2}{2} = \frac{16}{2} - 0 = 8 

Шаг 3: Найдём a

Подставим в уравнение:

 a \cdot 8 = 1 \Rightarrow a = \frac{1}{8} = 0.125 

Ответ:

a = 0.13 (округлено до второго знака после запятой) ✅