Определить вероятность выхода из строя только одного прибора вследствие повышения напряжения

Предмет: Теория вероятностей и математическая статистика (ТВиМС)
Раздел: Условные вероятности, формула полной вероятности, формула Байеса

Задание 4:

Вероятность того, что в электрической цепи напряжение превысит номинальное значение, равна 0,3. При повышенном напряжении вероятность выхода из строя одного прибора равна 0,1, другого — 0,3. Определить вероятность выхода из строя только одного прибора вследствие повышения напряжения.

Обозначения:

Пусть:

• Событие A: напряжение превысило номинальное значение
• Событие B₁: вышел из строя первый прибор
• Событие B₂: вышел из строя второй прибор
• Событие B: из строя вышел только один из двух приборов

Дано:
[P(A) = 0{,}3]
[P(B_1 \mid A) = 0{,}1]
[P(B_2 \mid A) = 0{,}3]

Требуется найти:
[P(B \mid A)] — вероятность того, что при повышенном напряжении из строя вышел только один прибор.

Решение:

Событие "вышел из строя только один прибор" при повышенном напряжении можно разбить на два несовместных события:

1. Первый прибор вышел из строя, второй — нет:
   [P(B_1 \cap \overline{B_2} \mid A) = P(B_1 \mid A) \cdot P(\overline{B_2} \mid A)]
2. Второй прибор вышел из строя, первый — нет:
   [P(\overline{B_1} \cap B_2 \mid A) = P(\overline{B_1} \mid A) \cdot P(B_2 \mid A)]

Итак:

 \[ P(B \mid A) = P(B_1 \cap \overline{B_2} \mid A) + P(\overline{B_1} \cap B_2 \mid A) \] 

Подставим значения:

 \[ P(B_1 \mid A) = 0{,}1,\quad P(B_2 \mid A) = 0{,}3 \] 

 \[ P(\overline{B_1} \mid A) = 1 - 0{,}1 = 0{,}9,\quad P(\overline{B_2} \mid A) = 1 - 0{,}3 = 0{,}7 \] 

Теперь подставим в формулу:

 \[ P(B \mid A) = 0{,}1 \cdot 0{,}7 + 0{,}9 \cdot 0{,}3 = 0{,}07 + 0{,}27 = 0{,}34 \] 

Ответ:

[P(B \mid A) = 0{,}34]

Вероятность того, что при повышенном напряжении выйдет из строя только один прибор, равна 0,34.