. Вероятность того, что расход воды в течение суток не превзойдёт норму, равна 0,75.
Какова вероятность, что в течение недели 5 дней расход воды не превзойдёт норму?
Определение предмета и раздела
Этот вопрос относится к предмету математика, а именно к разделу теории вероятностей. Для решения задачи будем использовать понятие бернуллиевских испытаний. Бернуллиевское испытание — это случайное испытание, которое может завершиться тремя исходами:
- успехом, с вероятностью \( p \)
- неудачей, с вероятностью \( 1 - p \)
Обозначим:
- \( p \) — вероятность того, что расход воды в один день не превзойдёт норму. \( p = 0.75 \)
- \( q \) — вероятность того, что расход воды в один день превзойдёт норму. \( q = 1 - p = 1 - 0.75 = 0.25 \)
- \( n = 7 \) — количество дней (период наблюдения)
- \( k = 5 \) — количество дней, в которые расход воды не превзойдёт норму, которое мы ищем
Нам нужно найти вероятность того, что в течение недели 5 из 7 дней расход воды не превзойдёт норму:
Эта вероятность вычисляется по формуле биномиального распределения:
\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k} \]
Где:
- \( \binom{n}{k} \) — биномиальный коэффициент. (\( \binom{7}{5} \))
Расчитаем каждый шаг:
- Биномиальный коэффициент: \[ \binom{7}{5} = \frac{7!}{5!(7-5)!} = \frac{7!}{5! \cdot 2!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5!}{5! \cdot 2 \cdot 1} = \frac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} = 21 \]
- Вероятность успеха в 5 из 7 дней: \[ p^5 = (0.75)^5 = 0.2373 \] (округлено до 4 знаков после запятой)
- Вероятность неудачи в 2 из 7 дней: \[ q^2 = (0.25)^2 = 0.0625 \]
- Теперь соберем всё вместе: \[ P(X = 5) = \binom{7}{5} \cdot p^5 \cdot q^{2} = 21 \cdot 0.2373 \cdot 0.0625 \]
- Размножение всех компонентов: \[ P(X = 5) = 21 \cdot 0.2373 \cdot 0.0625 \approx 0.311 \] (округлено до трёх знаков после запятой)
Таким образом, вероятность того, что в течение недели 5 дней расход воды не превзойдёт норму, приближённо равна \( 0.311 \) или \( 31.1\% \).