Условие:
В первой урне 6 белых и 4 черных шара. Во второй урне 1 белый и 9 черных шаров. Из наудачу взятой урны вытаскивается один шар, который оказался белым. Тогда вероятность того, что этот шар был вынут из второй урны, равна...
Решение:
Это задание по разделу теории вероятностей, который является частью курса по математике. Давайте разберем задачу пошагово.
- Определение событий и вероятностей:
- Событие \( A \): выбранная урна — вторая урна.
- Событие \( B \): выбранный шар белый.
- Нахождение вероятностей:
- Вероятность выбрать любую из урн одинаковая, так как урна выбирается наудачу. То есть, \[
P(A) = P(\text{выбрана вторая урна}) = \frac{1}{2}
\] \[
P(\bar{A}) = P(\text{выбрана первая урна}) = \frac{1}{2}
\]
- Условные вероятности события \( B \) (выбора белого шара) из каждой из урн:
- Если выбирается первая урна, то вероятность вытянуть белый шар: \[
P(B|\bar{A}) = \frac{6}{6 + 4} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}
\]
- Если выбирается вторая урна, то вероятность вытянуть белый шар: \[
P(B|A) = \frac{1}{1 + 9} = \frac{1}{10}
\]
- Использование формулы полной вероятности для нахождения \( P(B) \): \[
P(B) = P(B|\bar{A})P(\bar{A}) + P(B|A)P(A)
\] Подставляем известные значения: \[
P(B) = \left(\frac{3}{5}\right)\left(\frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{10}\right)\left(\frac{1}{2}\right)
\] Приведем к общему знаменателю: \[
P(B) = \frac{3}{10} + \frac{1}{20} = \frac{6}{20} + \frac{1}{20} = \frac{7}{20}
\]
- Применение формулы Байеса для нахождения искомой вероятности \( P(A|B) \): Нам нужно найти вероятность того, что белый шар был вынут из второй урны, то есть \( P(A|B) \): \[
P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}
\] Подставляем значения: \[
P(A|B) = \frac{\left(\frac{1}{10}\right)\left(\frac{1}{2}\right)}{\frac{7}{20}} = \frac{\frac{1}{20}}{\frac{7}{20}} = \frac{1}{20} \times \frac{20}{7} = \frac{1}{7}
\] Таким образом, вероятность того, что белый шар был вынут из второй урны, равна \( \boxed{\frac{1}{7}} \).