Определить вероятность того, что последние два шара красные

Предмет: Теория вероятностей
Раздел: Классическая вероятность, комбинаторика, условная вероятность

Условие задачи:

В урне находятся:

• 2 белых шара,
• 3 черных шара,
• 5 красных шаров.

Итого:
[2 + 3 + 5 = 10] шаров.

Из урны по очереди извлекаются три шара без возвращения.
Нужно найти вероятность того, что последние два шара — красные.

Шаг 1: Обозначим событие

Нас интересует вероятность того, что второй и третий извлечённые шары — красные, независимо от первого.

То есть, обозначим:

• Событие A: второй и третий шары — красные.

Шаг 2: Подход к решению

Поскольку шары вытягиваются по очереди, порядок важен. Это неперестановочная выборка без возвращения.

Найдем вероятность того, что второй и третий шары — красные, независимо от того, какой был первый.

Для этого рассмотрим все возможные варианты, при которых второй и третий шары — красные.

Шаг 3: Рассчитаем общее число способов выбрать 3 шара по очереди

Общее число способов выбрать 3 шара по очереди из 10:

• На первое место — 10 вариантов,
• На второе — 9,
• На третье — 8.

Общее количество возможных троек (упорядоченных) равно: [N = 10 \cdot 9 \cdot 8 = 720]

Но поскольку нас интересует только комбинации, где второй и третий шары — красные, мы будем считать благоприятные исходы.

Шаг 4: Число благоприятных исходов

Рассмотрим возможные варианты, при которых:

• второй шар — красный,
• третий шар — красный.

Нужно перебрать все возможные варианты первого шара (любой цвет), а второй и третий — красные.

Пусть:

• Первый шар — произвольный (любой из 10),
• Второй — красный,
• Третий — красный.

Но важно учитывать, что шары не возвращаются, т.е. общее количество шаров уменьшается после каждого извлечения.

Переберем все возможные случаи:

Случай 1: Первый шар не красный (т.е. белый или черный)

• Всего не красных: 2 белых + 3 черных = 5
• Количество таких вариантов для первого шара: 5
• После этого остаётся:
  • красных: 5
  • всего: 9

Теперь нужно выбрать 2 красных шара на второе и третье место, из оставшихся 5 красных.

• Количество способов выбрать 2 красных шара по очереди:
  [5 \cdot 4 = 20]

Итак, общее количество благоприятных исходов в этом случае: [5 \cdot 5 \cdot 4 = 100]

Случай 2: Первый шар — красный

• Таких вариантов: 5
• После этого остаётся:
  • красных: 4
  • всего: 9

Теперь нужно выбрать 2 красных шара по очереди из оставшихся 4:

• Количество способов: [4 \cdot 3 = 12]

Итак, общее количество благоприятных исходов в этом случае: [5 \cdot 4 \cdot 3 = 60]

Шаг 5: Общее количество благоприятных исходов

Суммируем:

• Случай 1: 100
• Случай 2: 60

Итого:
[M = 100 + 60 = 160] благоприятных исходов

Шаг 6: Вычислим вероятность

 P = \frac{M}{N} = \frac{160}{720} = \frac{2}{9} 

✅ Ответ:

\boxed{\frac{2}{9}} — вероятность того, что последние два шара — красные.