Определить вероятность того, что команда A победит со счётом 3:1

Предмет: Теория вероятностей
Раздел: Формула полной вероятности и формула Байеса

Рассмотрим задание 8.3:

В волейбольном матче игра происходит до тех пор, пока одна из команд не выиграет трех партий. Вероятность победы команды A в каждой партии равна 0,7. Определить вероятность того, что команда A победит со счётом 3:1.

Шаг 1: Понимание задачи

Матч длится до 3 побед одной из команд. Нам нужно найти вероятность того, что команда A выиграет матч со счётом 3:1, то есть команда A выигрывает 3 партии, а команда B — 1 партию.

Чтобы матч закончился со счётом 3:1, должно быть сыграно ровно 4 партии, из которых 3 выигрывает команда A, а 1 — команда B.
Причём последняя партия обязательно должна быть выиграна командой A, так как она выигрывает матч.

Шаг 2: Вероятность нужной последовательности

Рассмотрим все возможные последовательности из 4 партий, в которых команда A выигрывает 3 раза, а команда B — 1 раз, при условии, что последняя партия — победа команды A.

Нам нужно выбрать 1 партию из первых 3, которую выигрывает команда B, остальные — команда A.

Число таких последовательностей:
C_3^1 = 3

Вероятность каждой конкретной последовательности:

• Команда A выигрывает 3 партии: вероятность каждой победы — 0{,}7
• Команда B выигрывает 1 партию: вероятность — 0{,}3

Итак, вероятность одной такой последовательности: 0{,}7^3 \cdot 0{,}3

Общая вероятность: P = C_3^1 \cdot 0{,}7^3 \cdot 0{,}3 = 3 \cdot 0{,}343 \cdot 0{,}3 = 3 \cdot 0{,}1029 = 0{,}3087

Ответ:

P = 0{,}3087

Вероятность того, что команда A победит со счётом 3:1, равна 0,3087.