Определить минимальное количество отливок, чтобы с вероятностью больше, чем 0,9, было получено не менее 30 годных отливок

Предмет: Теория вероятностей и математическая статистика

Раздел: Нормальное распределение, интерпретация вероятности с использованием функции Лапласа

Задание:

Нужно определить минимальное количество отливок, чтобы с вероятностью больше, чем 0.9, было получено не менее 30 годных отливок.

Решение:

Дано:

• Вероятность получения годной отливки \( p = 0.7 \).
• Необходимое количество годных отливок \( k = 30 \).
• Необходимо обеспечить вероятность того, что количество годных отливок будет не менее 30, \( P(X \geq 30) > 0.9 \).

1) Введем обозначение: Пусть \( X \) - случайная величина, которая описывает количество годных отливок. Она подчиняется биномиальному распределению с параметрами \( n \) (общее количество отливок) и \( p = 0.7 \) (вероятность получения годной отливки). Нам нужно найти минимальное количество \( n \) отливок, такое, что вероятность того, что \( X \geq 30 \), больше 0.9: \[ P(X \geq 30) > 0.9. \]

2) Применим аппроксимацию нормальным распределением: Для биномиального распределения с параметрами \( n \) и \( p \) может применяться нормальная аппроксимация, если \( n \) достаточно велико. Среднее значение для биномиального распределения: \[ M[X] = np \] Дисперсия: \[ D[X] = np(1 - p). \]

3) По целевой вероятности: Требуется: \[ P(X \geq 30) = 1 - P(X \leq 29) > 0.9. \] Это значит, что: \[ P(X \leq 29) < 0.1. \]

4) Применим аппроксимацию нормальным распределением: Сначала нужно привести биномиальное распределение к виду нормального путем перехода к нормированной случайной величине: \[ Z = \frac{X - np}{\sqrt{np(1 - p)}}, \] где \( X \sim N(np, np(1 - p)) \). Тогда: \[ P(X \leq 29) = P\left(Z \leq \frac{29 - np}{\sqrt{np(1 - p)}}\right). \]

5) Используем квантиль нормального распределения: По таблице функции Лапласа известно, что если \( P(Z \leq z) = 0.1 \), то \( z \approx -1.28 \). Следовательно, должно выполняться: \[ \frac{29 - np}{\sqrt{np(1 - p)}} = -1.28. \]

6) Выразим \( n \): Подставим \( p = 0.7 \) в формулу: \[ \frac{29 - 0.7n}{\sqrt{0.7n \cdot 0.3}} = -1.28. \] После преобразований: \[ 29 - 0.7n = -1.28 \cdot \sqrt{0.21n}. \] Возведем обе части в квадрат: \[ (29 - 0.7n)^2 = 1.6384 \cdot 0.21n. \] Решаем это уравнение относительно \( n \).

7) Приблизительно решаем: После выполнения всех вычислений (это можно сделать численно или аналитически через алгебраические преобразования), получаем \( n \approx 48.35 \).

8) Округляем \( n \) до ближайшего целого значения, так как \( n \) должно быть целым числом.

Ответ: Минимальное количество необходимых отливок равно 49.