Определить минимальное количество испытаний (проверок), чтобы с вероятностью не менее 0.95 обнаружить хотя бы одну неисправную деталь

Предмет: Теория вероятностей
Раздел: Схемы испытаний, геометрическое и биномиальное распределение, оценка вероятности события

Условие задачи:

Имеется партия деталей, из которых 5% (то есть 0.05) являются бракованными. Требуется определить минимальное количество испытаний (проверок), чтобы с вероятностью не менее 0.95 обнаружить хотя бы одну неисправную деталь.

Обозначения:

• Вероятность того, что деталь неисправна:
  [p = 0.05]
• Вероятность того, что деталь исправна:
  [q = 1 - p = 0.95]
• Вероятность обнаружить хотя бы одну неисправную деталь среди [n] протестированных:
  [P(\text{найдена хотя бы одна неисправная}) \ge 0.95]

Решение:

Наиболее удобный способ — воспользоваться противоположным событием:
"все проверенные детали оказались исправными".

Вероятность того, что одна деталь исправна: [0.95]
Тогда вероятность того, что все n деталей исправны:
[P(\text{все исправны}) = 0.95^n]

Соответственно, вероятность того, что хотя бы одна неисправна:
[P(\text{хотя бы одна неисправна}) = 1 - 0.95^n]

Требуется, чтобы эта вероятность была не менее 0.95:

 1 - 0.95^n \ge 0.95 

Решим это неравенство:

 0.95^n \le 0.05 

Применим логарифм к обеим частям:

 \log(0.95^n) \le \log(0.05) 

 n \cdot \log(0.95) \le \log(0.05) 

 n \ge \frac{\log(0.05)}{\log(0.95)} 

Подставим значения:

 n \ge \frac{\log(0.05)}{\log(0.95)} \approx \frac{-1.3010}{-0.0228} \approx 57.06 

Так как [n] должно быть целым числом, то:

[n = 58]

Ответ:

Чтобы с вероятностью не менее [0.95] обнаружить хотя бы одну неисправную деталь, необходимо испытать не менее 58 деталей.