Определить, как изменятся: математическое ожидание

Предмет: Теория вероятностей и математическая статистика
Раздел: Случайные величины. Преобразование случайных величин. Математическое ожидание, дисперсия и стандартное отклонение.

Условие задачи:

Произведено линейное преобразование выборки: все значения умножены на 90 (евро → рубли). Требуется определить, как изменятся:

• Математическое ожидание
• Дисперсия
• Среднее квадратическое отклонение (стандартное отклонение)

Теория

Пусть дана случайная величина X со следующими характеристиками:

• Математическое ожидание: \mathbb{E}[X]
• Дисперсия: \mathrm{Var}(X)
• Среднеквадратичное отклонение: \sigma_X = \sqrt{\mathrm{Var}(X)}

Рассмотрим новую случайную величину Y = aX, где a = 90. Тогда:

1. Математическое ожидание: \mathbb{E}[Y] = \mathbb{E}[aX] = a \cdot \mathbb{E}[X]

2. Дисперсия: \mathrm{Var}(Y) = \mathrm{Var}(aX) = a^2 \cdot \mathrm{Var}(X)

3. Среднеквадратичное отклонение: \sigma_Y = \sqrt{\mathrm{Var}(Y)} = \sqrt{a^2 \cdot \mathrm{Var}(X)} = |a| \cdot \sigma_X

Применим к задаче:

Пусть цены в евро — это выборка значений случайной величины X, а после перевода в рубли (по курсу 1 евро = 90 рублей) получаем выборку Y = 90X.

Тогда:

• Математическое ожидание увеличится в 90 раз: \mathbb{E}[Y] = 90 \cdot \mathbb{E}[X]

• Дисперсия увеличится в 8100 раз: \mathrm{Var}(Y) = 90^2 \cdot \mathrm{Var}(X) = 8100 \cdot \mathrm{Var}(X)

• Среднеквадратичное отклонение увеличится в 90 раз: \sigma_Y = 90 \cdot \sigma_X

Ответ:

• Величина математического ожидания увеличится в 90 раз.
• Величина дисперсии увеличится в 8100 раз.
• Величина среднего квадратического отклонения увеличится в 90 раз.