Определить функцию распределения случайной величины и функцию распределения количества четных номеров среди выбранных аттестатов

Предмет: Математика
Раздел: Теория вероятностей и статистика (случайные величины, функции распределения)

Задача:
Дана выборка из 5 школьных аттестатов, пронумерованных от 1 до 5. Из них случайно выбираются 2 аттестата без возвращения, и записываются их номера. Нужно определить функцию распределения случайной величины и функцию распределения количества четных номеров среди выбранных аттестатов.

Решение:

Обозначим случайную величину:

• X — номер первого выбранного аттестата,
• Y — номер второго выбранного аттестата,
• Z — количество четных номеров среди выбранных двух аттестатов.

1. Возможные номера аттестатов: \{1, 2, 3, 4, 5\}

2. Общее количество способов выбрать 2 аттестата из 5 без возвращения:
   C_5^2 = \frac{5!}{2! \cdot 3!} = 10

3. Возможные пары (без порядка, так как просто выбираем два аттестата):

\{(1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (2,3), (2,4), (2,5), (3,4), (3,5), (4,5)\}

4. Теперь посчитаем количество четных номеров в каждой паре:

• (1,2): 1 четный (2)
• (1,3): 0 четных
• (1,4): 1 четный (4)
• (1,5): 0 четных
• (2,3): 1 четный (2)
• (2,4): 2 четных (2,4)
• (2,5): 1 четный (2)
• (3,4): 1 четный (4)
• (3,5): 0 четных
• (4,5): 1 четный (4)

5. Значения Z и их вероятности:

• Z=0: пары с 0 четными — (1,3), (1,5), (3,5) → 3 пары
  Вероятность: P(Z=0) = \frac{3}{10}

• Z=1: пары с 1 четным — (1,2), (1,4), (2,3), (2,5), (3,4), (4,5) → 6 пар
  Вероятность: P(Z=1) = \frac{6}{10} = 0.6

• Z=2: пары с 2 четными — (2,4) → 1 пара
  Вероятность: P(Z=2) = \frac{1}{10} = 0.1

6. Функция распределения F_Z(k) = P(Z \leq k):

• F_Z(0) = P(Z=0) = \frac{3}{10} = 0.3
• F_Z(1) = P(Z=0) + P(Z=1) = 0.3 + 0.6 = 0.9
• F_Z(2) = 1 (так как максимум 2)

Итог:

• Функция вероятности:

 P(Z=0) = 0.3, \quad P(Z=1) = 0.6, \quad P(Z=2) = 0.1 

• Функция распределения:

 F_Z(k) = \begin{cases} 0, & k < 0 \ 0.3, & 0 \leq k < 1 \ 0.9, & 1 \leq k < 2 \ 1, & k \geq 2 \end{cases} 

Если нужно, могу помочь с построением графиков функций распределения.