Нормальное распределение, вероятность отклонения случайной величины

Предмет: Теория вероятностей и математическая статистика
Раздел: Нормальное распределение, вероятность отклонения случайной величины

Дано:

• Процент протеина ( X ) распределен нормально: ( X \sim N(11.2\%, 0.6\%) ).
• Для соответствия стандарту ( X ) должен находиться в интервале
  [11.2\% \pm 1\%], т.е.
  [10.2\% \leq X \leq 12.2\%].
• Найти вероятность [P(10.2\% \leq X \leq 12.2\%)].

Решение:

Введем стандартную нормальную случайную величину:  Z = \frac{X - \mu}{\sigma}  где \mu = 11.2\%, \sigma = 0.6\%.

Найдем соответствующие значения Z:  Z_1 = \frac{10.2\% - 11.2\%}{0.6\%} = \frac{-1\%}{0.6\%} = -\frac{10}{6} \approx -1.67   Z_2 = \frac{12.2\% - 11.2\%}{0.6\%} = \frac{1\%}{0.6\%} = \frac{10}{6} \approx 1.67 

Теперь найдем вероятность [P(-1.67 \leq Z \leq 1.67)].
Используем таблицу стандартного нормального распределения:

 P(Z \leq 1.67) \approx 0.9525, \quad P(Z \leq -1.67) \approx 0.0475 

Тогда:  P(-1.67 \leq Z \leq 1.67) = P(Z \leq 1.67) - P(Z \leq -1.67)   = 0.9525 - 0.0475 = 0.905 

Ответ:

Вероятность того, что пакет с кормом удовлетворяет стандарту, составляет 0.905 или 90.5%.