Непрерывные случайные величины, функции плотности и распределения

Предмет: Теория вероятностей и математическая статистика
Раздел: Непрерывные случайные величины, функции плотности и распределения

Нам необходимо решить задачу 3 для варианта 3, так как он попадает в диапазон от 21 до 27.

Из таблицы, для варианта 3 даны:

• a = 0
• b = 2
• k = 3
• c = 1
• d = 2

Функция плотности распределения имеет вид:

 f(x) = \begin{cases} 0, & x \leq a \ me^{kx}, & a < x \leq b \ 0, & x > b \end{cases} 

Подставим значения:

 f(x) = \begin{cases} 0, & x \leq 0 \ me^{3x}, & 0 < x \leq 2 \ 0, & x > 2 \end{cases} 

Шаг 1: Найдём коэффициент m

Так как f(x) — это функция плотности вероятности, то по определению:

 \int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1 

Учитывая, что вне интервала (0, 2] функция равна нулю, интеграл от f(x) можно записать как:

 \int_{0}^{2} me^{3x} dx = 1 

Вынесем m за знак интеграла:

 m \int_{0}^{2} e^{3x} dx = 1 

Вычислим интеграл:

 \int e^{3x} dx = \frac{1}{3} e^{3x} 

Подставим пределы:

 \int_{0}^{2} e^{3x} dx = \left[ \frac{1}{3} e^{3x} \right]_0^2 = \frac{1}{3}(e^6 - e^0) = \frac{1}{3}(e^6 - 1) 

Теперь найдём m:

 m \cdot \frac{1}{3}(e^6 - 1) = 1 \Rightarrow m = \frac{3}{e^6 - 1} 

Шаг 2: Найдём интегральную функцию распределения F(x)

Интегральная функция распределения F(x) находится по формуле:

 F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) dt 

Разобьём на интервалы:

1. x \leq 0:
   F(x) = 0

2. 0 < x \leq 2:
    F(x) = \int_0^x me^{3t} dt = m \cdot \left[ \frac{1}{3} e^{3t} \right]_0^x = m \cdot \frac{1}{3} (e^{3x} - 1) 

3. x > 2:
   F(x) = 1

Полная формула:

 F(x) = \begin{cases} 0, & x \leq 0 \ \frac{m}{3}(e^{3x} - 1), & 0 < x \leq 2 \ 1, & x > 2 \end{cases} 

Шаг 3: Найдём математическое ожидание \mathbb{E}[X]

 \mathbb{E}[X] = \int_{0}^{2} x f(x) dx = \int_{0}^{2} x \cdot me^{3x} dx 

Вынесем m:

 \mathbb{E}[X] = m \int_{0}^{2} x e^{3x} dx 

Вычислим интеграл по частям:

Пусть:

• u = x \Rightarrow du = dx
• dv = e^{3x} dx \Rightarrow v = \frac{1}{3} e^{3x}

Тогда:

 \int x e^{3x} dx = \frac{1}{3} x e^{3x} - \frac{1}{3} \int e^{3x} dx = \frac{1}{3} x e^{3x} - \frac{1}{9} e^{3x} 

Подставим пределы от 0 до 2:

 \left[ \frac{1}{3} x e^{3x} - \frac{1}{9} e^{3x} \right]_0^2 = \left( \frac{2}{3} e^6 - \frac{1}{9} e^6 \right) - \left( 0 - \frac{1}{9} \right) = \left( \frac{5}{9} e^6 + \frac{1}{9} \right) 

Теперь домножим на m:

 \mathbb{E}[X] = m \cdot \left( \frac{5}{9} e^6 + \frac{1}{9} \right) 

Подставим m = \frac{3}{e^6 - 1}:

 \mathbb{E}[X] = \frac{3}{e^6 - 1} \cdot \left( \frac{5}{9} e^6 + \frac{1}{9} \right) 

Шаг 4: Найдём дисперсию D(X)

 D(X) = \mathbb{E}[X^2] - (\mathbb{E}[X])^2 

Сначала найдём \mathbb{E}[X^2]:

 \mathbb{E}[X^2] = \int_{0}^{2} x^2 f(x) dx = m \int_{0}^{2} x^2 e^{3x} dx 

Этот интеграл можно взять по частям дважды или воспользоваться табличным результатом. Приведу результат:

 \int x^2 e^{3x} dx = e^{3x} \left( \frac{x^2}{3} - \frac{2x}{9} + \frac{2}{27} \right) 

Тогда:

 \mathbb{E}[X^2] = m \cdot \left[ e^{3x} \left( \frac{x^2}{3} - \frac{2x}{9} + \frac{2}{27} \right) \right]_0^2 

Подставим и упростим (можно численно, если нужно точное значение — напиши, и я досчитаю).

Шаг 5: Найдём вероятность P(c < X < d)

Нужно найти:

 P(1 < X < 2) = \int_1^2 f(x) dx = m \int_1^2 e^{3x} dx 

 = m \cdot \left[ \frac{1}{3} e^{3x} \right]_1^2 = m \cdot \frac{1}{3} (e^6 - e^3) 

Подставим m = \frac{3}{e^6 - 1}:

 P = \frac{3}{e^6 - 1} \cdot \frac{1}{3} (e^6 - e^3) = \frac{e^6 - e^3}{e^6 - 1} 

Если хочешь, могу привести численные значения всех выражений.