Непрерывные случайные величины

Предмет: Теория вероятностей и математическая статистика
Раздел: Непрерывные случайные величины

Дана плотность распределения случайной величины ( X ):

f(x) = \begin{cases} 0, & |x| > 1, \ c x^2, & |x| \leq 1. \end{cases}

Необходимо найти вероятность ( P(-2 \leq x \leq 1/2) ).

1. Нормировка плотности вероятности

Плотность вероятности ( f(x) ) должна удовлетворять условию нормировки:
\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx = 1.

Так как ( f(x) = 0 ) при ( |x| > 1 ), пределы интегрирования сводятся к ( [-1, 1] ):
\int_{-1}^1 c x^2 \, dx = 1.

Рассчитаем интеграл:
\int_{-1}^1 c x^2 \, dx = c \int_{-1}^1 x^2 \, dx = c \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^1 = c \left( \frac{1^3}{3} - \frac{(-1)^3}{3} \right) = c \cdot \frac{2}{3}.

Таким образом,
c \cdot \frac{2}{3} = 1 \quad \Rightarrow \quad c = \frac{3}{2}.

2. Вычисление вероятности ( P(-2 \leq x \leq 1/2) )

Так как ( f(x) = 0 ) при ( |x| > 1 ), вероятность ( P(-2 \leq x \leq 1/2) ) сводится к ( P(-1 \leq x \leq 1/2) ):
P(-1 \leq x \leq 1/2) = \int_{-1}^{1/2} f(x) \, dx = \int_{-1}^{1/2} \frac{3}{2} x^2 \, dx.

Вычислим интеграл:
\int_{-1}^{1/2} \frac{3}{2} x^2 \, dx = \frac{3}{2} \int_{-1}^{1/2} x^2 \, dx = \frac{3}{2} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{1/2} = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3} \left( \left( \frac{1}{2} \right)^3 - (-1)^3 \right).

Упростим:
\left( \frac{1}{2} \right)^3 = \frac{1}{8}, \quad (-1)^3 = -1.
Подставим значения:
\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3} \left( \frac{1}{8} - (-1) \right) = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3} \cdot \left( \frac{1}{8} + 1 \right) = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{9}{8} = \frac{9}{16}.

Ответ:

P(-2 \leq x \leq 1/2) = \frac{9}{16}.