Найти значение параметра k, вероятность и математическое ожидание

Этот пример относится к области теории вероятностей и разделу непрерывных случайных величин. Нужно найти три вещи: \(k\), вероятность \(P(-1 \leq X \leq 0,5)\), и математическое ожидание \(M[X]\).

Дано:

Функция плотности вероятности \(f(x)\):

\[ f(x) = \begin{cases} 0, \text{ при } x < 0 \\ kx^5, \text{ при } 0 \leq x \leq 1 \\ 0, \text{ при } x > 1 \end{cases} \]

Задача а)

Найти значение параметра \(k\).

Условие нормировки плотности вероятности:

\[ \int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1 \]

Так как \(f(x) = 0\) при \(x < 0\) и \(x > 1\), интеграл вычисляем только на промежутке от 0 до 1:

\[ \int_{0}^{1} kx^5 dx = 1 \]

Выполним интегрирование:

\[ \int_{0}^{1} x^5 dx = \left[ \frac{x^6}{6} \right]_0^1 = \frac{1^6}{6} - \frac{0^6}{6} = \frac{1}{6} \]

Подставляем в выражение:

\[ k \cdot \frac{1}{6} = 1 \]

Откуда:

\[ k = 6 \]

Ответ на пункт а):

\(k = 6\).

Задача б)

Найти вероятность \(P(-1 \leq X \leq 0,5)\).

Так как \(f(x) = 0\) при \(x < 0\), для нахождения вероятности \(P(-1 \leq X \leq 0,5)\) рассматриваем только отрезок от 0 до 0,5:

\[ P(-1 \leq X \leq 0,5) = \int_{0}^{0,5} 6x^5 dx \]

Выполним интегрирование:

\[ \int_{0}^{0,5} 6x^5 dx = 6 \cdot \left[ \frac{x^6}{6} \right]_0^{0,5} = \left[ x^6 \right]_0^{0,5} \]

Подставляем пределы:

\[ \left[ 0,5^6 - 0^6 \right] = 0,5^6 = \frac{1}{64} \]

Таким образом:

\[ P(-1 \leq X \leq 0,5) = \frac{1}{64} \]

Ответ на пункт б):

\(P(-1 \leq X \leq 0,5) = \frac{1}{64}\).

Задача в)

Найти математическое ожидание \(M[X]\).

Для нахождения математического ожидания используется следующая формула:

\[ M[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx \]

Так как \(f(x) = 0\) при \(x < 0\) и \(x > 1\), рассчитываем интеграл только на промежутке \(0 \leq x \leq 1\):

\[ M[X] = \int_{0}^{1} x \cdot 6x^5 dx = 6 \int_{0}^{1} x^6 dx \]

Интегрируем:

\[ \int_{0}^{1} x^6 dx = \left[ \frac{x^7}{7} \right]_0^1 = \frac{1^7}{7} - \frac{0^7}{7} = \frac{1}{7} \]

Тогда:

\[ M[X] = 6 \cdot \frac{1}{7} = \frac{6}{7} \]

Ответ на пункт в):

Итоговые ответы:

• а) \(k = 6\)
• б) \(P(-1 \leq X \leq 0,5) = \frac{1}{64}\)
• в) \(M[X] = \frac{6}{7}\)

\(M[X] = \frac{6}{7}\).