Найти: Значение параметра a. Функцию распределения F(x). Математическое ожидание E(X). Построить графики функций f(x) и F(x)

Предмет: Теория вероятностей и математическая статистика
Раздел: Распределение случайных величин, плотность и функция распределения, математическое ожидание.

Задача 2

Дана плотность распределения случайной величины f(x):

 f(x) = \begin{cases} 0, & x < 0, \ a \cdot \sin^3 x, & 0 \leq x \leq \pi, \ 0, & x > \pi. \end{cases} 

Нужно найти:

1. Значение параметра a
2. Функцию распределения F(x)
3. Математическое ожидание E(X)
4. Построить графики функций f(x) и F(x)

Решение:

1. Нахождение параметра a

Так как f(x) — плотность распределения, она должна удовлетворять условию нормировки:

 \int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1. 

Из определения функции:

 \int_0^\pi a \sin^3 x \, dx = 1. 

Вычислим интеграл:

 \int_0^\pi \sin^3 x \, dx = \int_0^\pi \sin x \cdot \sin^2 x \, dx = \int_0^\pi \sin x (1 - \cos^2 x) dx = \int_0^\pi \sin x \, dx - \int_0^\pi \sin x \cos^2 x \, dx. 

Первый интеграл:

 \int_0^\pi \sin x \, dx = [-\cos x]_0^\pi = -\cos \pi + \cos 0 = -(-1) + 1 = 2. 

Второй интеграл:

Пусть t = \cos x, тогда dt = -\sin x dx.

Тогда:

 \int_0^\pi \sin x \cos^2 x \, dx = - \int_{\cos 0}^{\cos \pi} t^2 dt = - \int_1^{-1} t^2 dt = \int_{-1}^1 t^2 dt. 

Вычислим:

 \int_{-1}^1 t^2 dt = \left[ \frac{t^3}{3} \right]_{-1}^1 = \frac{1}{3} - \left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{2}{3}. 

Таким образом,

 \int_0^\pi \sin^3 x \, dx = 2 - \frac{2}{3} = \frac{6}{3} - \frac{2}{3} = \frac{4}{3}. 

Отсюда:

 a \cdot \frac{4}{3} = 1 \implies a = \frac{3}{4}. 

2. Функция распределения F(x)

Функция распределения:

 F(x) = P(X \leq x) = \int_{-\infty}^x f(t) dt. 

По определению плотности:

• Для x < 0, F(x) = 0.
• Для 0 \leq x \leq \pi:

 F(x) = \int_0^x \frac{3}{4} \sin^3 t \, dt. 

• Для x > \pi, F(x) = 1.

Вычислим интеграл \int \sin^3 t \, dt:

Используем формулу:

 \sin^3 t = \sin t (1 - \cos^2 t). 

Тогда:

 \int \sin^3 t dt = \int \sin t dt - \int \sin t \cos^2 t dt. 

Первый интеграл:

 \int \sin t dt = -\cos t + C. 

Второй интеграл:

Пусть u = \cos t, тогда du = -\sin t dt, значит:

 \int \sin t \cos^2 t dt = -\int u^2 du = -\frac{u^3}{3} + C = -\frac{\cos^3 t}{3} + C. 

Итого:

 \int \sin^3 t dt = -\cos t + \frac{\cos^3 t}{3} + C. 

Следовательно,

 F(x) = \frac{3}{4} \left[ -\cos t + \frac{\cos^3 t}{3} \right]_0^x = \frac{3}{4} \left( -\cos x + \frac{\cos^3 x}{3} + 1 - \frac{1}{3} \right) = \frac{3}{4} \left( 1 - \frac{1}{3} - \cos x + \frac{\cos^3 x}{3} \right). 

Упростим:

 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}. 

Итого:

 F(x) = \frac{3}{4} \left( \frac{2}{3} - \cos x + \frac{\cos^3 x}{3} \right) = \frac{1}{2} - \frac{3}{4} \cos x + \frac{1}{4} \cos^3 x. 

Итоговая функция распределения:

 F(x) = \begin{cases} 0, & x < 0, \ \frac{1}{2} - \frac{3}{4} \cos x + \frac{1}{4} \cos^3 x, & 0 \leq x \leq \pi, \ 1, & x > \pi. \end{cases} 

3. Математическое ожидание E(X)

 E(X) = \int_{-\infty}^\infty x f(x) dx = \int_0^\pi x \cdot \frac{3}{4} \sin^3 x \, dx. 

Вычислим интеграл:

 E(X) = \frac{3}{4} \int_0^\pi x \sin^3 x \, dx. 

Используем разложение \sin^3 x = \sin x - \sin x \cos^2 x:

 E(X) = \frac{3}{4} \left( \int_0^\pi x \sin x \, dx - \int_0^\pi x \sin x \cos^2 x \, dx \right). 

Вычислим первый интеграл I_1 = \int_0^\pi x \sin x \, dx:

Используем интегрирование по частям:

Пусть u = x, dv = \sin x dx, тогда du = dx, v = -\cos x.

 I_1 = -x \cos x \Big|_0^\pi + \int_0^\pi \cos x dx = -\pi \cos \pi + 0 + \sin x \Big|_0^\pi = -\pi (-1) + (0 - 0) = \pi. 

Второй интеграл I_2 = \int_0^\pi x \sin x \cos^2 x \, dx.

Пусть t = \cos x, тогда dt = -\sin x dx, значит:

 \sin x dx = -dt, 

Но у нас есть x \sin x \cos^2 x dx, перепишем:

 I_2 = \int_0^\pi x \sin x \cos^2 x \, dx = \int_0^\pi x \cos^2 x \sin x dx. 

Подставим:

 I_2 = -\int_{t=\cos 0}^{t=\cos \pi} x t^2 dt, 

но x выражается через t = \cos x неявно, что усложняет интеграл.

Поэтому используем интегрирование по частям для исходного интеграла I_2:

Пусть u = x \cos^2 x, dv = \sin x dx, тогда du = \cos^2 x dx + x \cdot 2 \cos x (-\sin x) dx = \cos^2 x dx - 2x \cos x \sin x dx, v = -\cos x.

Тогда:

 I_2 = -x \cos^2 x \cos x \Big|_0^\pi + \int_0^\pi \cos x \left( \cos^2 x - 2x \cos x \sin x \right) dx. 

Границы:

 x=0: -0 \cdot \cos^2 0 \cdot \cos 0 = 0, 

 x=\pi: -\pi \cdot \cos^2 \pi \cdot \cos \pi = -\pi \cdot 1 \cdot (-1) = \pi. 

Итого:

 I_2 = \pi + \int_0^\pi \cos^3 x dx - 2 \int_0^\pi x \cos^2 x \sin x dx. 

Обозначим:

 J = \int_0^\pi x \cos^2 x \sin x dx. 

Но этот интеграл похож на I_2, только с \cos^2 x \sin x вместо \sin x \cos^2 x — это то же самое.

Значит:

 J = I_2. 

Тогда уравнение для I_2:

 I_2 = \pi + \int_0^\pi \cos^3 x dx - 2 I_2. 

Переносим 2 I_2 в левую часть:

 I_2 + 2 I_2 = \pi + \int_0^\pi \cos^3 x dx \implies 3 I_2 = \pi + \int_0^\pi \cos^3 x dx. 

Вычислим \int_0^\pi \cos^3 x dx:

 \cos^3 x = \cos x (1 - \sin^2 x), 

но проще использовать формулу:

 \int \cos^3 x dx = \int \cos x (1 - \sin^2 x) dx = \sin x - \frac{\sin^3 x}{3} + C. 

Тогда:

 \int_0^\pi \cos^3 x dx = \left[ \sin x - \frac{\sin^3 x}{3} \right]_0^\pi = (0 - 0) - (0 - 0) = 0. 

Отсюда:

 3 I_2 = \pi \implies I_2 = \frac{\pi}{3}. 

Итог:

 E(X) = \frac{3}{4} \left( \pi - \frac{\pi}{3} \right) = \frac{3}{4} \cdot \frac{2 \pi}{3} = \frac{3}{4} \cdot \frac{2 \pi}{3} = \frac{2 \pi}{4} = \frac{\pi}{2}. 

Итог по задаче 2:

 a = \frac{3}{4}, 

 F(x) = \begin{cases} 0, & x < 0, \ \frac{1}{2} - \frac{3}{4} \cos x + \frac{1}{4} \cos^3 x, & 0 \leq x \leq \pi, \ 1, & x > \pi, \end{cases} 

 E(X) = \frac{\pi}{2}. 

Построение графиков

• График f(x) — функция \frac{3}{4} \sin^3 x на интервале [0, \pi], нулевая вне этого интервала.
• График F(x) — кусочно-заданная функция, построенная выше.

Если нужно, могу помочь с решением задачи 3.