Найти: значение параметра a, частные плотности распределения f1(x) и f2(y). Зависимы ли Х и Y?

Предмет: Теория вероятностей и математическая статистика
Раздел: Совместное распределение случайных величин, плотности распределения, независимость случайных величин

Дана двумерная случайная величина  (X, Y)  с совместной плотностью распределения

 f(x,y) = \begin{cases} 2a \cdot \cos(2x + y), & (x,y) \in D: \left| x \right| \leq \frac{\pi}{8}, \left| y \right| \leq \frac{\pi}{4} \ 0, & \text{иначе} \end{cases} 

Шаг 1. Найдем параметр a

Так как f(x,y) — плотность вероятности, интеграл по всей области определения должен равняться 1:

 \iint_D f(x,y) \, dx dy = 1 

Подставим выражение для плотности:

 \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \int_{-\frac{\pi}{8}}^{\frac{\pi}{8}} 2a \cos(2x + y) \, dx \, dy = 1 

Вынесем константу:

 2a \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \int_{-\frac{\pi}{8}}^{\frac{\pi}{8}} \cos(2x + y) \, dx \, dy = 1 

Интегрируем по x:

 \int_{-\frac{\pi}{8}}^{\frac{\pi}{8}} \cos(2x + y) \, dx 

Сделаем замену переменной:

t = 2x + y \Rightarrow dt = 2 dx \Rightarrow dx = \frac{dt}{2}

При x = -\frac{\pi}{8}, t = 2 \cdot \left(-\frac{\pi}{8}\right) + y = -\frac{\pi}{4} + y

При x = \frac{\pi}{8}, t = \frac{\pi}{4} + y

Тогда интеграл:

 \int_{t = -\frac{\pi}{4} + y}^{\frac{\pi}{4} + y} \cos t \cdot \frac{dt}{2} = \frac{1}{2} \int_{-\frac{\pi}{4} + y}^{\frac{\pi}{4} + y} \cos t \, dt = \frac{1}{2} [\sin t]_{-\frac{\pi}{4} + y}^{\frac{\pi}{4} + y} = \frac{1}{2} \left( \sin\left(\frac{\pi}{4} + y\right) - \sin\left(-\frac{\pi}{4} + y\right) \right) 

Используем формулу разности синусов:

 \sin A - \sin B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2} 

Пусть A = \frac{\pi}{4} + y, B = -\frac{\pi}{4} + y, тогда

 \frac{A+B}{2} = \frac{\frac{\pi}{4} + y - \frac{\pi}{4} + y}{2} = \frac{2y}{2} = y 

 \frac{A-B}{2} = \frac{\frac{\pi}{4} + y - \left(-\frac{\pi}{4} + y\right)}{2} = \frac{\frac{\pi}{4} + y + \frac{\pi}{4} - y}{2} = \frac{\frac{\pi}{2}}{2} = \frac{\pi}{4} 

Следовательно:

 \sin\left(\frac{\pi}{4} + y\right) - \sin\left(-\frac{\pi}{4} + y\right) = 2 \cos y \sin \frac{\pi}{4} = 2 \cos y \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \cos y 

Значит интеграл по x равен:

 \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cos y = \frac{\sqrt{2}}{2} \cos y 

Шаг 2. Интегрируем по y:

Теперь полный интеграл:

 2a \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sqrt{2}}{2} \cos y \, dy = 2a \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \cos y \, dy = a \sqrt{2} \left[ \sin y \right]_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} = a \sqrt{2} \left( \sin \frac{\pi}{4} - \sin \left(-\frac{\pi}{4}\right) \right) 

Известно, что \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}, и \sin(-\theta) = -\sin \theta, следовательно:

 \sin \frac{\pi}{4} - \sin \left(-\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} 

Тогда:

 a \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = a \cdot 2 

Условие нормировки:

 a \cdot 2 = 1 \implies a = \frac{1}{2} 

Шаг 3. Найдем частные плотности распределения f_1(x) и f_2(y)

• Частная плотность по x:

 f_1(x) = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} f(x,y) \, dy = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} 2a \cos(2x + y) \, dy = 2 \cdot \frac{1}{2} \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \cos(2x + y) \, dy = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \cos(2x + y) \, dy 

Интегрируем по y:

 \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \cos(2x + y) \, dy = \left[ \sin(2x + y) \right]_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} = \sin\left(2x + \frac{\pi}{4}\right) - \sin\left(2x - \frac{\pi}{4}\right) 

Опять используем формулу разности синусов:

 \sin A - \sin B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2} 

Здесь:

 A = 2x + \frac{\pi}{4}, \quad B = 2x - \frac{\pi}{4} 

 \frac{A+B}{2} = \frac{2x + \frac{\pi}{4} + 2x - \frac{\pi}{4}}{2} = \frac{4x}{2} = 2x 

 \frac{A-B}{2} = \frac{2x + \frac{\pi}{4} - (2x - \frac{\pi}{4})}{2} = \frac{\frac{\pi}{2}}{2} = \frac{\pi}{4} 

Тогда:

 f_1(x) = 2 \cos(2x) \sin \frac{\pi}{4} = 2 \cos(2x) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \cos(2x) 

Область определения x \in \left[-\frac{\pi}{8}, \frac{\pi}{8}\right].

• Частная плотность по y:

 f_2(y) = \int_{-\frac{\pi}{8}}^{\frac{\pi}{8}} f(x,y) \, dx = \int_{-\frac{\pi}{8}}^{\frac{\pi}{8}} 2a \cos(2x + y) \, dx = 2 \cdot \frac{1}{2} \int_{-\frac{\pi}{8}}^{\frac{\pi}{8}} \cos(2x + y) \, dx = \int_{-\frac{\pi}{8}}^{\frac{\pi}{8}} \cos(2x + y) \, dx 

Интегрируем по x (мы уже делали это в шаге 1):

 \int_{-\frac{\pi}{8}}^{\frac{\pi}{8}} \cos(2x + y) \, dx = \frac{\sqrt{2}}{2} \cos y 

Область определения y \in \left[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right].

Шаг 4. Проверка зависимости случайных величин X и Y

Для независимости должно выполняться:

 f(x,y) = f_1(x) \cdot f_2(y) 

Подставим найденные выражения:

 f_1(x) \cdot f_2(y) = \left( \sqrt{2} \cos(2x) \right) \cdot \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \cos y \right) = \cos(2x) \cos y 

А исходная плотность:

 f(x,y) = 2a \cos(2x + y) = 1 \cdot \cos(2x + y) = \cos(2x + y) 

Ясно, что \cos(2x + y) \neq \cos(2x) \cos y в общем случае. Следовательно, X и Y зависимы.

Ответ:

 a = \frac{1}{2} 

 f_1(x) = \sqrt{2} \cos(2x), \quad x \in \left[-\frac{\pi}{8}, \frac{\pi}{8}\right] 

 f_2(y) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cos y, \quad y \in \left[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right] 

Случайные величины X и Y зависимы.