Найти значение функции распределения

Определение предмета:

Предмет: Теория вероятностей и математическая статистика
Раздел: Случайные величины и функции распределения

Условие задачи:

1. У нас есть 9 ключей, из которых только 1 подходит к замку.
2. Мы перебираем ключи случайно, пока один из них не подойдет к замку.
3. Случайная величина \( X \) — это количество проверенных ключей, при которых найден подходящий ключ.
4. Требуется найти значение функции распределения \( F_X(x) \) при \( x = 3 \).

Шаг 1. Определение функции распределения

Функция распределения случайной величины \( X \), \( F_X(x) \), задается как вероятность того, что случайная величина \( X \) принимает значение, меньшее или равное \( x \):

\[ F_X(x) = P(X \leq x). \]

В данной задаче, \( X \) — это количество проверенных ключей до нахождения подходящего. Подходящий ключ можно найти при \( X = 1, 2, ..., 9 \). При этом процесс перебора ключей завершается, как только найдено совпадение.

Шаг 2. Анализ задачи и вероятностей

Это ситуация перебора элементов без возврата с равной вероятностью для каждого элемента. Поскольку \( X \) — дискретная случайная величина, вероятность \( P(X = k) \) (где \( k = 1, 2, ..., 9 \)) определяется следующим образом:

\[ P(X = k) = \frac{1}{9}, \quad \text{для каждого } k. \]

Поскольку \( F_X(x) = P(X \leq x) \), суммируем вероятности для всех \( k \leq x \).

Шаг 3. Находим \( F_X(3) \)

При \( x = 3 \), функция распределения принимает вид:

\[ F_X(3) = P(X \leq 3) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3). \]

Подставляем вероятности:

\[ P(X = 1) = \frac{1}{9}, \quad P(X = 2) = \frac{1}{9}, \quad P(X = 3) = \frac{1}{9}. \]

Тогда:

\[ F_X(3) = \frac{1}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}. \]

Ответ:

Значение функции распределения случайной величины \( X \) при \( x = 3 \) равно:

\[ F_X(3) = \frac{1}{3}. \]