Найти значение A, при котором f(x) является плотностью вероятности

Предмет: Математика
Раздел: Теория вероятностей и математическая статистика – Непрерывные распределения вероятностей

Условие задачи:

Дана функция:

f(x) = A \cdot \exp\left(-\frac{x^2}{2}\right)

Требуется:

1. Найти значение A, при котором f(x) является плотностью вероятности.
2. Найти математическое ожидание этого распределения.

Шаг 1: Условие нормировки плотности

Функция плотности вероятности должна удовлетворять условию:

\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx = 1

Подставим выражение для f(x):

\int_{-\infty}^{\infty} A \cdot \exp\left(-\frac{x^2}{2}\right) dx = 1

Вынесем A за знак интеграла:

A \cdot \int_{-\infty}^{\infty} \exp\left(-\frac{x^2}{2}\right) dx = 1

Интеграл:

\int_{-\infty}^{\infty} \exp\left(-\frac{x^2}{2}\right) dx = \sqrt{2\pi}

(Это известный гауссов интеграл.)

Тогда:

A \cdot \sqrt{2\pi} = 1

Отсюда:

A = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}

Шаг 2: Математическое ожидание

Математическое ожидание непрерывной случайной величины с плотностью f(x) определяется как:

\mathbb{E}[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) \, dx

Подставим:

\mathbb{E}[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \cdot \exp\left(-\frac{x^2}{2}\right) dx

Вынесем константу:

\mathbb{E}[X] = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \cdot \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot \exp\left(-\frac{x^2}{2}\right) dx

Интеграл от нечётной функции по симметичному промежутку:

\int_{-\infty}^{\infty} x \cdot \exp\left(-\frac{x^2}{2}\right) dx = 0

(Поскольку подынтегральная функция нечётная, а пределы симметричны.)

Тогда:

\mathbb{E}[X] = 0

Ответ:

1. A = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}
2. \mathbb{E}[X] = 0