Найти законы распределения (т.е. плотности) случайных величин

Предмет: Теория вероятностей и математическая статистика
Раздел: Распределения случайных величин, преобразование случайных величин

Условие:
Задана случайная величина ( X ) с плотностью распределения

 f_X(x) = \begin{cases} 0, & x \leq -1 \ \frac{x^2}{3}, & -1 < x \leq 2 \ 0, & x > 2 \end{cases} 

Найти законы распределения (т.е. плотности) случайных величин:

• Y = 2X - 1
• Z = e^X + 1
• U = X^2

Шаг 1: Найдём функцию распределения и плотность для Y = 2X - 1

Это линейное преобразование случайной величины:
Y = aX + b, где a = 2, b = -1.

Для линейного преобразования, если известна плотность f_X(x), то плотность f_Y(y) находится по формуле:

 f_Y(y) = \frac{1}{|a|} f_X\left(\frac{y - b}{a}\right) 

Подставим a = 2, b = -1:

 f_Y(y) = \frac{1}{2} f_X\left(\frac{y + 1}{2}\right) 

Найдем область определения Y:

 X \in (-1, 2] \Rightarrow Y = 2X - 1 \in (-3, 3] 

Теперь подставим f_X(x) = \frac{x^2}{3}:

 f_Y(y) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \left(\frac{y + 1}{2}\right)^2 = \frac{1}{6} \cdot \left(\frac{(y + 1)^2}{4}\right) = \frac{(y + 1)^2}{24} 

Итак, окончательно:

 f_Y(y) = \begin{cases} \frac{(y + 1)^2}{24}, & -3 < y \leq 3 \ 0, & \text{иначе} \end{cases} 

Шаг 2: Найдём распределение Z = e^X + 1

Это монотонная возрастающая функция, так как g(x) = e^x + 1 возрастает.

Используем формулу преобразования для монотонной функции:

 f_Z(z) = f_X(x(z)) \cdot \left| \frac{dx}{dz} \right|, \quad \text{где } x = g^{-1}(z) 

Найдём обратную функцию:

 z = e^x + 1 \Rightarrow x = \ln(z - 1) 

Диапазон X \in (-1, 2], значит Z \in (e^{-1} + 1, e^2 + 1]

Теперь:

 f_Z(z) = f_X(\ln(z - 1)) \cdot \left| \frac{d}{dz} \ln(z - 1) \right| = f_X(\ln(z - 1)) \cdot \frac{1}{z - 1} 

Подставим f_X(x) = \frac{x^2}{3}:

 f_Z(z) = \frac{1}{3} \cdot \frac{(\ln(z - 1))^2}{z - 1}, \quad z \in (e^{-1} + 1, e^2 + 1] 

Шаг 3: Найдём распределение U = X^2

Функция g(x) = x^2 не является монотонной на всём интервале, но на каждом из подинтервалов (-1, 0] и (0, 2] она монотонна.

Область значений:
X \in (-1, 2] \Rightarrow U = X^2 \in (0, 4]

Разобьём на два участка:

1. x \in (-1, 0] \Rightarrow u = x^2 \Rightarrow x = -\sqrt{u}
2. x \in (0, 2] \Rightarrow u = x^2 \Rightarrow x = \sqrt{u}

Применим формулу преобразования плотности для немонотонной функции:

 f_U(u) = \sum_{x_i: g(x_i) = u} \frac{f_X(x_i)}{|g'(x_i)|} 

 g(x) = x^2 \Rightarrow g'(x) = 2x 

Итак, получаем:

 f_U(u) = \frac{f_X(\sqrt{u})}{2\sqrt{u}} + \frac{f_X(-\sqrt{u})}{2\sqrt{u}}, \quad u \in (0, 4] 

Подставим f_X(x) = \frac{x^2}{3}:

 f_X(\sqrt{u}) = \frac{u}{3}, \quad f_X(-\sqrt{u}) = \frac{u}{3} 

Итак:

 f_U(u) = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot \left( \frac{u}{3} + \frac{u}{3} \right) = \frac{u}{3\sqrt{u}} = \frac{\sqrt{u}}{3} 

Пределы: u \in (0, 4]

Ответ:

 f_U(u) = \begin{cases} \frac{\sqrt{u}}{3}, & 0 < u \leq 4 \ 0, & \text{иначе} \end{cases} 

Ответ:

1. Плотность Y = 2X - 1:

 f_Y(y) = \begin{cases} \frac{(y + 1)^2}{24}, & -3 < y \leq 3 \ 0, & \text{иначе} \end{cases} 

2. Плотность Z = e^X + 1:

 f_Z(z) = \begin{cases} \frac{1}{3} \cdot \frac{(\ln(z - 1))^2}{z - 1}, & z \in (e^{-1} + 1, e^2 + 1] \ 0, & \text{иначе} \end{cases} 

3. Плотность U = X^2:

 f_U(u) = \begin{cases} \frac{\sqrt{u}}{3}, & 0 < u \leq 4 \ 0, & \text{иначе} \end{cases}