Найти закон распределения X

Данное задание относится к предмету "Теория вероятностей и математическая статистика", а именно к разделу "Дискретные случайные величины"

Задание: Дискретная случайная величина \( X \) имеет только два возможных значения \( x_1 \) и \( x_2 \), причём \( x_1 < x_2 \). Вероятность того, что \( X \) примет значение \( x_1 \), равна 0.6. Найти закон распределения \( X \), зная \( M[X] = 2.1 \) и \( M[X^2] = 4.77 \).

Решение:

1. Определение вероятностей: Пусть:
   • \[ P(X = x_1) = p_1 = 0.6 \]
   • \[ P(X = x_2) = p_2 = 1 - p_1 = 0.4 \]
2. Использование математического ожидания: Математическое ожидание \( X \) задано как: \[ M[X] = x_1 \cdot p_1 + x_2 \cdot p_2 = 2.1 \] Подставим известные значения: \[ x_1 \cdot 0.6 + x_2 \cdot 0.4 = 2.1 \] \[ 0.6 x_1 + 0.4 x_2 = 2.1 \] (1)
3. Использование второго момента: По определению второго момента: \[ M[X^2] = x_1^2 \cdot p_1 + x_2^2 \cdot p_2 = 4.77 \] Подставим известные значения: \[ x_1^2 \cdot 0.6 + x_2^2 \cdot 0.4 = 4.77 \] (2)
4. Решение системы уравнений: Возьмём уравнение (1) и выразим одну из переменных, например \( x_2 \): \[ 0.4 x_2 = 2.1 - 0.6 x_1 \] \[ x_2 = \frac{2.1 - 0.6 x_1}{0.4} \] \[ x_2 = \frac{2.1 - 0.6 x_1}{0.4} = 5.25 - 1.5 x_1 \] Подставим это выражение для \( x_2 \) во второе уравнение (2): \[ 0.6 x_1^2 + 0.4 (5.25 - 1.5 x_1)^2 = 4.77 \] Выразим выражение для \( x_2 \): \[ 0.6 x_1^2 + 0.4 \cdot 27.5625 - 0.4 \cdot 15.75 x_1 + 0.4 \cdot 2.25 x_1^2 = 4.77 \] \[ 1.5 x_1^2 - 6.3 x_1 + 6.255 = 0 \] Решим квадратное уравнение: \[ x_1^2 - 4.2 x_1 + 4.17 = 0 \] Определим дискриминант \( D \): \[ D = 4.2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4.17 = 17.64 - 16.68 = 0.96 \] Найдём корни уравнения: \[ x_1 = \frac{4.2 \pm \sqrt{0.96}}{2 \cdot 1} \] \[ x_1 = \frac{4.2 \pm 0.98}{2} \] \[ x_1 = \frac{5.18}{2} = 2.59 \] \[ x_1 = \frac{3.22}{2} = 1.61 \] Поскольку \( x_1 < x_2 \), то выбираем \( x_1 = 1.61 \). Найдём \( x_2 \): \[ x_2 = 5.25 - 1.5 \cdot 1.61 = 5.25 - 2.415 = 2.835 \]
5. Ответ: Закон распределения \( X \): \[ X \: \text{принимает значения} \: 1.61 \: \text{с вероятностью} \: 0.6 \: \text{и} \: 2.835 \: \text{с вероятностью} \: 0.4. \] То есть: \[ P(X = 1.61) = 0.6 \] \[ P(X = 2.835) = 0.4 \]