Найти закон распределения двумерной дискретной случайной величины

Предмет: Теория вероятностей и математическая статистика
Раздел: Дискретные случайные величины, совместное распределение, корреляция

Условие задачи:

Бросают два игральных кубика. Определены две случайные величины:

• X — число появлений грани с цифрой 5
• Y — число появлений грани с нечётной цифрой (1, 3, 5)

Найти:

1. Закон распределения двумерной дискретной случайной величины (X, Y)
2. Зависимы ли X и Y
3. Коэффициент корреляции r(X, Y)

Шаг 1: Возможные значения X и Y

Поскольку бросаются 2 кубика, каждая из величин X и Y может принимать значения 0, 1 или 2.

• X = 0: на обоих кубиках не выпала 5
• X = 1: на одном кубике выпала 5
• X = 2: на обоих кубиках выпала 5

Аналогично для Y, но учитываются цифры 1, 3, 5.

Шаг 2: Построим все возможные комбинации (X, Y)

Рассмотрим все 36 возможных исходов броска двух кубиков. Обозначим результат броска как пару (a, b), где a — результат первого кубика, b — второго.

Для каждой пары определим:

• X: сколько раз выпала цифра 5
• Y: сколько раз выпала нечётная цифра (1, 3, 5)

Возможные значения:

Шаг 3: Перебираем все 36 исходов и считаем частоты

Для каждого из 36 исходов посчитаем соответствующие значения (X, Y):

Создадим таблицу частот:

Пояснение:

• X = 0, Y = 0: обе чётные и не 5 → 2, 4 → 2×2 = 4
• X = 0, Y = 1: одна нечётная (1 или 3), другая чётная (2, 4, 6), ни одна не 5 → 2×4 = 8
• X = 0, Y = 2: обе нечётные, ни одна не 5 → (1,3)×(1,3) = 3×3 = 9
• X = 1, Y = 1: одна 5, другая чётная (2, 4, 6) → 1×3×2 = 6 (но только те, где вторая не нечётная) → 4
• X = 1, Y = 2: одна 5, другая нечётная (1, 3) → 1×2×2 = 4×2 = 8
• X = 2, Y = 2: обе 5 → 1 исход

Шаг 4: Совместное распределение (X,Y)

Шаг 5: Проверим зависимость X и Y

Для независимости должно выполняться:

P(X = x, Y = y) = P(X = x) \cdot P(Y = y)

Посчитаем маргинальные распределения:

Маргинальное распределение X:

• P(X = 0) = \frac{4 + 8 + 9}{36} = \frac{21}{36}
• P(X = 1) = \frac{4 + 8}{36} = \frac{12}{36}
• P(X = 2) = \frac{1}{36}

Маргинальное распределение Y:

• P(Y = 0) = \frac{4}{36}
• P(Y = 1) = \frac{8 + 4}{36} = \frac{12}{36}
• P(Y = 2) = \frac{9 + 8 + 1}{36} = \frac{18}{36}

Проверим, например:

P(X = 0, Y = 2) = \frac{9}{36}
P(X = 0)\cdot P(Y = 2) = \frac{21}{36} \cdot \frac{18}{36} = \frac{378}{1296} = \frac{21}{72} \neq \frac{9}{36}

Не выполняется ⇒ X и Y зависимы.

Шаг 6: Найдём коэффициент корреляции r(X,Y)

Формула:

r(X, Y) = \frac{Cov(X, Y)}{\sqrt{Var(X)} \cdot \sqrt{Var(Y)}}

Найдём:

1. \mathbb{E}[X], \mathbb{E}[Y]
2. \mathbb{E}[XY]
3. Cov(X, Y) = \mathbb{E}[XY] - \mathbb{E}[X]\mathbb{E}[Y]
4. Var(X) = \mathbb{E}[X^2] - (\mathbb{E}[X])^2
5. Аналогично для Y

1. Найдём \mathbb{E}[X]:

 \mathbb{E}[X] = 0 \cdot \frac{21}{36} + 1 \cdot \frac{12}{36} + 2 \cdot \frac{1}{36} = \frac{12 + 2}{36} = \frac{14}{36} 

\mathbb{E}[X] = \frac{7}{18}

2. \mathbb{E}[Y]:

 \mathbb{E}[Y] = 0 \cdot \frac{4}{36} + 1 \cdot \frac{12}{36} + 2 \cdot \frac{18}{36} = \frac{12 + 36}{36} = \frac{48}{36} = \frac{4}{3} 

3. \mathbb{E}[XY]

Считаем по таблице:

 \mathbb{E}[XY] = \sum x \cdot y \cdot P(X = x, Y = y) = 0 + 0 + 0 + 1 \cdot 1 \cdot \frac{4}{36} + 1 \cdot 2 \cdot \frac{8}{36} + 2 \cdot 2 \cdot \frac{1}{36} = \frac{4 + 16 + 4}{36} = \frac{24}{36} = \frac{2}{3} 

4. Cov(X, Y)

 Cov(X, Y) = \mathbb{E}[XY] - \mathbb{E}[X]\mathbb{E}[Y] = \frac{2}{3} - \frac{7}{18} \cdot \frac{4}{3} = \frac{2}{3} - \frac{28}{54} = \frac{36 - 28}{54} = \frac{8}{54} = \frac{4}{27} 

5. Дисперсии:

 \mathbb{E}[X^2] = 0^2 \cdot \frac{21}{36} + 1^2 \cdot \frac{12}{36} + 2^2 \cdot \frac{1}{36} = \frac{12 + 4}{36} = \frac{16}{36} 

Var(X) = \frac{16}{36} - \left(\frac{7}{18}\right)^2 = \frac{16}{36} - \frac{49}{324} = \frac{144 - 49}{324} = \frac{95}{324}

Аналогично для Y:

 \mathbb{E}[Y^2] = 0^2 \cdot \frac{4}{36} + 1^2 \cdot \frac{12}{36} + 2^2 \cdot \frac{18}{36} = \frac{12 + 72}{36} = \frac{84}{36} = \frac{7}{3} 

Var(Y) = \frac{7}{3} - \left(\frac{4}{3}\right)^2 = \frac{7}{3} - \frac{16}{9} = \frac{21 - 16}{9} = \frac{5}{9}

6. r(X, Y):

 r(X, Y) = \frac{4/27}{\sqrt{95/324} \cdot \sqrt{5/9}} = \frac{4}{27} \cdot \frac{1}{\sqrt{475/2916}} = \frac{4}{27} \cdot \sqrt{\frac{2916}{475}} \approx 0.3 

Ответ:

1. Закон распределения (X, Y) — таблица выше.
2. Случайные величины X и Y зависимы.
3. Коэффициент корреляции: r(X, Y) \approx 0.3 — слабая положительная корреляция.