Найти закон распределения

Определение предмета и раздела:

Предмет: Теория вероятностей и математическая статистика
Раздел: Дискретные случайные величины, биномиальное распределение

Решение:

1. Определение случайной величины (X)

Случайная величина (X) определяется как модуль разности числа появлений герба и числа появлений цифры (решки) при шести бросках правильной монеты.
Обозначим количество выпадений герба за (Y). Тогда (Y) имеет биномиальное распределение:

P(Y = k) = C_6^k \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^6, \quad k = 0,1,2,3,4,5,6

Случайная величина (X) определяется как:

X = |2Y - 6| = |Y - (6 - Y)| = |2Y - 6|

Возможные значения (X) (так как (Y) принимает значения от 0 до 6):

X = |2Y - 6| = \{6, 4, 2, 0, 2, 4, 6\}

Таким образом, возможные значения (X) — это (0, 2, 4, 6).

2. Закон распределения случайной величины (X)

Для нахождения вероятностей воспользуемся биномиальным распределением:

Подставим вероятности:

 \begin{aligned} P(X=0) &= P(Y=3) = C_6^3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^6 = 20 \cdot \frac{1}{64} = \frac{20}{64}, \ P(X=2) &= P(Y=2) + P(Y=4) = C_6^2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^6 + C_6^4 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^6 \ &= 15 \cdot \frac{1}{64} + 15 \cdot \frac{1}{64} = \frac{30}{64}, \ P(X=4) &= P(Y=1) + P(Y=5) = C_6^1 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^6 + C_6^5 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^6 \ &= 6 \cdot \frac{1}{64} + 6 \cdot \frac{1}{64} = \frac{12}{64}, \ P(X=6) &= P(Y=0) + P(Y=6) = C_6^0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^6 + C_6^6 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^6 \ &= 1 \cdot \frac{1}{64} + 1 \cdot \frac{1}{64} = \frac{2}{64}. \end{aligned} 

Таким образом, закон распределения случайной величины (X):

3. Нахождение моды случайной величины (X)

Мода — это значение случайной величины, имеющее наибольшую вероятность.
Из таблицы видно, что наибольшую вероятность имеет (X = 2):

\text{Мода: } X = 2

4. Вычисление (F(4)) — функции распределения в точке 4

Функция распределения (F(x)) определяется как:

F(x) = P(X \leq x)

Для (x = 4):

 F(4) = P(X = 0) + P(X = 2) + P(X = 4) = \frac{20}{64} + \frac{30}{64} + \frac{12}{64} = \frac{62}{64}. 

Ответ:

• Закон распределения приведён в таблице.
• Мода: (X = 2).
• (F(4)): \frac{62}{64}.