Найти вероятности суммы выпавших очков равна семи

Предмет: Теория вероятностей (математика).

Раздел предмета: Расчет вероятностей на конечных моделях, задача о суммах очков на игральных костях.

Условие задачи:

Даны две игральные кости, каждая из которых при броске может показать число от 1 до 6. Нужно найти вероятности следующих событий:

1. a) Сумма выпавших очков равна семи.
2. б) Сумма выпавших очков равна восьми, а разность — четырем.
3. в) Сумма выпавших очков равна восьми, если известно, что их разность равна четырем.
4. г) Сумма выпавших очков равна пяти, а произведение — четырем.

Решение:

Для решения используем тот факт, что каждая из двух костей может выпасть с одним из 6 значений, то есть всего 6 × 6 = 36 возможных комбинаций.

1. a) Сумма выпавших очков равна 7.

Возможные комбинации чисел на двух игральных костях, дающие в сумме 7:

• (1, 6)
• (2, 5)
• (3, 4)
• (4, 3)
• (5, 2)
• (6, 1)

Всего 6 подходящих вариантов. Вероятность события A:

P(A) = \frac{\text{Количество благоприятных исходов}}{\text{Общее количество исходов}} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}.

2. б) Сумма выпавших очков равна 8, а разность — 4.

Условие: сумма = 8, разность = 4. Запишем системы уравнений:

x + y = 8 \quad \text{и} \quad |x - y| = 4.

Рассмотрим оба возможных случая для разности:

• x - y = 4: x = 6, y = 2 \quad\text{(подходит)}.
• y - x = 4: x = 2, y = 6 \quad\text{(подходит)}.

Получаем два варианта: (6, 2) и (2, 6). Вероятность события B:

P(B) = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}.

3. в) Сумма выпавших очков равна 8, если известно, что их разность равна 4.

Нам нужно найти условную вероятность. Событие «разность очков равна 4» уже обсуждено: возможны два случая (6, 2) и (2, 6) — это 2 варианта.

Из этих двух вариантов только два удовлетворяют условию суммы, равной 8: (6, 2) и (2, 6).

Условная вероятность:

P(C|D) = \frac{\text{Благоприятные исходы}}{\text{Общие исходы события D}} = \frac{2}{2} = 1.

4. г) Сумма выпавших очков равна 5, а произведение — 4.

Запишем систему уравнений:

x + y = 5 \quad \text{и} \quad x \cdot y = 4.

Перебор возможных вариантов:

• x = 4, y = 1 → сумма = 5, произведение = 4 — подходит.
• x = 1, y = 4 → сумма = 5, произведение = 4 — подходит.

P(D) = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}.

Ответы:

1. a: \frac{1}{6}
2. б: \frac{1}{18}
3. в: 1
4. г: \frac{1}{18}

Таким образом, два варианта (4, 1) и (1, 4) удовлетворяют условию. Вероятность события D: