Найти вероятности двух событий

Определение предмета: Это задача по теории вероятностей (математика).

Раздел предмета: Раздел теории вероятностей, связанный с вычислением вероятностей событий и перестановками.

Задача:

Нужно найти вероятности двух событий:

• а) заказаны книги из разных разделов науки;
• б) заказаны книги из одного и того же раздела науки.

Дано:

• Всего книг — по 16 разделам науки.
• Всего заказаны 4 книги.
• Каждый состав заказанных книг равновозможен.

Решение:

Для того чтобы решить задачу, воспользуемся принципом классического определения вероятности:

$\text{(}P(A)=\frac{\text{благоприятные исходы}}{\text{возможные исходы}}\text{)}$

1. Общее количество возможных исходов: Мы можем выбрать 4 книги среди 16 разделов науки, при этом учитываются все варианты, включая повторы. Это задача на размещение с повторениями, так как книги могут быть из одного и того же раздела несколько раз. Количество возможных исходов — это размещение с повторениями из 16 элементов (разделов) по 4 места:

$\text{(}{N}_{\text{всего}}={16}^4\text{)}$

2. а) Вероятность того, что книги будут из разных разделов: Если книги из разных разделов, то для выбора 4 разделов без повторения мы используем перестановки комбинаций 4 разных разделов из 16 (без повторения): Для выбора 4 различных разделов мы можем выбрать 4 раздела из 16:

$\text{(}{C}_4^{16}=\frac{16!}{(16-4)!\times 4!}=\frac{16\times 15\times 14\times 13}{4\times 3\times 2\times 1}=1820\text{)}$

Далее, можно переставить эти книги (по одному экземпляру каждой) по 4 различным разделам:

$\text{(}4!=24\text{)}$

Тогда общее количество благоприятных исходов:

$\text{(}{N}_a=1820\times 24=43680\text{)}$

Теперь находим вероятность:

$\text{(}{P}_a=\frac{43680}{{16}^4}=\frac{43680}{65536}\approx 0.666\text{)}$

Таким образом, вероятность того, что книги заказаны из разных разделов науки:

$\text{(}P(a)\approx 66.6\mathrm{\%}\text{)}$

3. б) Вероятность того, что все заказанные книги из одного и того же раздела: Если все книги заказаны из одного и того же раздела, то мы можем выбрать 1 из 16 разделов, и каждая из 4 книг будет из этого выбранного раздела. Количество благоприятных исходов:

$\text{(}{N}_b=16\text{)}$

Так как книг всего заказано 4, а все они из одного раздела, других вариантов нет. Теперь находим вероятность:

$\text{(}{P}_b=\frac{16}{{16}^4}=\frac{16}{65536}=\frac{1}{4096}\approx 0.000244\text{)}$

Таким образом, вероятность того, что все книги заказаны из одного и того же раздела:

$\text{(}P(b)\approx 0.0244\mathrm{\%}\text{)}$

Ответ:

• а) Вероятность того, что заказаны книги из разных разделов науки: $\text{(}P(a)\approx 66.6\mathrm{\%}\text{)}$.
• б) Вероятность того, что заказаны книги из одного и того же раздела: $\text{(}P(b)\approx 0.0244\mathrm{\%}\text{)}$.