Найти вероятности двух событий

Определение предмета: Это задача по теории вероятностей (математика).

Раздел предмета: Раздел теории вероятностей, связанный с вычислением вероятностей событий и перестановками.

Задача:

Нужно найти вероятности двух событий:

• а) заказаны книги из разных разделов науки;
• б) заказаны книги из одного и того же раздела науки.

Дано:

• Всего книг — по 16 разделам науки.
• Всего заказаны 4 книги.
• Каждый состав заказанных книг равновозможен.

Решение:

Для того чтобы решить задачу, воспользуемся принципом классического определения вероятности:

\( P(A) = \frac{\text{благоприятные исходы}}{\text{возможные исходы}} \)

1. Общее количество возможных исходов: Мы можем выбрать 4 книги среди 16 разделов науки, при этом учитываются все варианты, включая повторы. Это задача на размещение с повторениями, так как книги могут быть из одного и того же раздела несколько раз. Количество возможных исходов — это размещение с повторениями из 16 элементов (разделов) по 4 места:

\( N_{\text{всего}} = 16^4 \)

2. а) Вероятность того, что книги будут из разных разделов: Если книги из разных разделов, то для выбора 4 разделов без повторения мы используем перестановки комбинаций 4 разных разделов из 16 (без повторения): Для выбора 4 различных разделов мы можем выбрать 4 раздела из 16:

\( C_4^{16} = \frac{16!}{(16-4)! \times 4!} = \frac{16 \times 15 \times 14 \times 13}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 1820 \)

Далее, можно переставить эти книги (по одному экземпляру каждой) по 4 различным разделам:

\( 4! = 24 \)

Тогда общее количество благоприятных исходов:

\( N_{a} = 1820 \times 24 = 43680 \)

Теперь находим вероятность:

\( P_{a} = \frac{43680}{16^4} = \frac{43680}{65536} \approx 0.666 \)

Таким образом, вероятность того, что книги заказаны из разных разделов науки:

\( P(a) \approx 66.6\% \)

3. б) Вероятность того, что все заказанные книги из одного и того же раздела: Если все книги заказаны из одного и того же раздела, то мы можем выбрать 1 из 16 разделов, и каждая из 4 книг будет из этого выбранного раздела. Количество благоприятных исходов:

\( N_{b} = 16 \)

Так как книг всего заказано 4, а все они из одного раздела, других вариантов нет. Теперь находим вероятность:

\( P_{b} = \frac{16}{16^4} = \frac{16}{65536} = \frac{1}{4096} \approx 0.000244 \)

Таким образом, вероятность того, что все книги заказаны из одного и того же раздела:

\( P(b) \approx 0.0244\% \)

Ответ:

• а) Вероятность того, что заказаны книги из разных разделов науки: \( P(a) \approx 66.6\% \).
• б) Вероятность того, что заказаны книги из одного и того же раздела: \( P(b) \approx 0.0244\% \).