Найти вероятности: а) Все выбранные специалисты - со стажем

Давайте разберем ваше задание.

Судя по содержанию, это задача по теории вероятностей, которая относится к разделу математики. Теперь проанализируем детали и решим её.

Дано:

1. Всего специалистов \( S1 = 55 \).
2. Из них:
   • со стажем (обозначим их как \( A \)) — \( 55 - 11 = 44 \),
   • без стажа (обозначим их как \( B \)) — 11 человек.
3. Из общей группы \( 55 \) специалистов наугад выбираются 3 человека.

Необходимо найти вероятности:

1. Все выбранные специалисты — со стажем.
2. Все выбранные специалисты — без стажа.
3. Хотя бы один из выбранных специалистов — со стажем.

Основная формула вероятности

Вероятность события \( P(A) \) вычисляется по следующей формуле:

\[ P(A) = \frac{\text{Число благоприятных исходов}}{\text{Общее число исходов}} \]

Общее количество способов выбрать 3 человека из общего числа специалистов \( 55 \) вычисляется как число сочетаний:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}, \]

где \( n \) — общее количество объектов, \( k \) — число выбираемых объектов.

Общее количество способов выбрать 3 специалистов из 55 (обозначим как \( C(55, 3) \)):

\[ C(55, 3) = \frac{55!}{3!(55-3)!} = \frac{55 \cdot 54 \cdot 53}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 26,235. \]

Решение

а) Вероятность того, что все три — со стажем

Для того чтобы все трое оказались со стажем, нужно выбрать 3 человека из 44 специалистов со стажем. Это также вычисляется как число сочетаний \( C(44, 3) \):

\[ C(44, 3) = \frac{44!}{3!(44-3)!} = \frac{44 \cdot 43 \cdot 42}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 13,244. \]

Теперь вероятность:

\[ P(\text{все со стажем}) = \frac{C(44, 3)}{C(55, 3)} = \frac{13,244}{26,235} \approx 0.5048 \, (или \, 50.48\%). \]

б) Вероятность того, что все три — без стажа

Для того чтобы все трое оказались без стажа, нужно выбрать 3 человека из 11 специалистов без стажа. Это вычисляется аналогично:

\[ C(11, 3) = \frac{11!}{3!(11-3)!} = \frac{11 \cdot 10 \cdot 9}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 165. \]

Теперь вероятность:

\[ P(\text{все без стажа}) = \frac{C(11, 3)}{C(55, 3)} = \frac{165}{26,235} \approx 0.0063 \, (или \, 0.63\%). \]

в) Вероятность того, что хотя бы один — со стажем

Событие "хотя бы один со стажем" является дополнением к событию "все трое без стажа". Используем формулу:

\[ P(\text{хотя бы один со стажем}) = 1 - P(\text{все без стажа}). \]

Из пункта (b) уже вычислено \( P(\text{все без стажа}) = 0.0063 \). Тогда:

Ответы:

1. Вероятность, что все три со стажем: \( \approx 50.48\% \).
2. Вероятность, что все три без стажа: \( \approx 0.63\% \).
3. Вероятность, что хотя бы один будет со стажем: \( \approx 99.37\% \).

\[ P(\text{хотя бы один со стажем}) = 1 - 0.0063 = 0.9937 \, (или \, 99.37\%). \]