Найти вероятность выхода из строя двух узлов системы; хотя бы одного узла; наивероятнейшее число узлов, не вышедших из строя

Предмет: Теория вероятностей
Раздел: Схемы испытаний, биномиальное распределение

Условие задачи:

Имеется техническая система, состоящая из 5 узлов.
Вероятность выхода из строя одного узла: p = 0{,}2
Вероятность того, что узел не выйдет из строя: q = 1 - p = 0{,}8
Нужно найти:

1. Вероятность выхода из строя двух узлов системы
2. Вероятность выхода из строя хотя бы одного узла
3. Наивероятнейшее число узлов, не вышедших из строя

Решение:

Модель задачи соответствует схеме Бернулли (биномиальное распределение), так как:

• Количество испытаний (узлов) фиксировано: n = 5
• Вероятность успеха (выход из строя) постоянна: p = 0{,}2
• События независимы

Формула биномиального распределения:

 P(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k} 

где
C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} — число сочетаний
k — число "успешных" исходов (в нашем случае, вышедших из строя узлов)

1) Вероятность выхода из строя двух узлов:

 P(2) = C_5^2 \cdot (0{,}2)^2 \cdot (0{,}8)^3 

Посчитаем:

 C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{120}{2 \cdot 6} = 10 

 P(2) = 10 \cdot 0{,}04 \cdot 0{,}512 = 10 \cdot 0{,}02048 = 0{,}2048 

Ответ: P(2) = 0{,}2048

2) Вероятность выхода из строя хотя бы одного узла

Это событие противоположно событию "все узлы работают", т.е. ни один не вышел из строя:

 P(\text{хотя бы один вышел из строя}) = 1 - P(0) 

Найдём P(0):

 P(0) = C_5^0 \cdot (0{,}2)^0 \cdot (0{,}8)^5 = 1 \cdot 1 \cdot 0{,}32768 = 0{,}32768 

Тогда:

 P(\text{хотя бы один}) = 1 - 0{,}32768 = 0{,}67232 

Ответ: P(\text{хотя бы один}) = 0{,}67232

3) Наивероятнейшее число узлов, не вышедших из строя

Пусть X — число вышедших из строя узлов, тогда X \sim Bin(n=5, p=0{,}2)
Найдем значение k, при котором P(k) максимально.

Рассчитаем P(k) для k = 0, 1, 2, 3 (дальше вероятности будут убывать):

• P(0) = 1 \cdot 1 \cdot (0{,}8)^5 = 0{,}32768
• P(1) = C_5^1 \cdot 0{,}2 \cdot (0{,}8)^4 = 5 \cdot 0{,}2 \cdot 0{,}4096 = 0{,}4096
• P(2) = 10 \cdot 0{,}04 \cdot 0{,}512 = 0{,}2048
• P(3) = C_5^3 \cdot (0{,}2)^3 \cdot (0{,}8)^2 = 10 \cdot 0{,}008 \cdot 0{,}64 = 0{,}0512

Максимальная вероятность при k = 1, т.е. один узел выходит из строя
Значит, наивероятнейшее число узлов, не вышедших из строя:
5 - 1 = 4

Ответ: Наивероятнейшее число узлов, не вышедших из строя — 4

Итоговые ответы:

1. P(2) = 0{,}2048
2. P(\text{хотя бы одного}) = 0{,}67232
3. Наивероятнейшее число узлов, не вышедших из строя — 4