Найти вероятность трёх попаданий при пяти выстрелах

Определение предмета и раздела:

Это задание относится к предмету теория вероятностей, разделу дискретных случайных событий и вычисление вероятностей.

Условие:

• Вероятность хотя бы одного попадания при двух выстрелах равна 0.64.
• Нужно найти вероятность трёх попаданий при пяти выстрелах.

Шаг 1: Определение вероятности одного попадания

Начнём с данными, которые есть:

1. "Вероятность хотя бы одного попадания при двух выстрелах равна 0.64".

Вероятность хотя бы одного попадания при двух выстрелах можно проще рассчитать, если узнать вероятность никто попадет никуда за два выстрела (ноль попаданий). Вероятность события "хотя бы одно попадание" можно выразить через вероятности противоположного события, а именно, что оба выстрела промахнутся. Обозначим вероятность попадания за \( p \), а вероятность промаха — за \( q = 1 - p \). Если вероятность промаха за один выстрел равна \( q \), то вероятность двух промахов подряд (оба выстрела мимо цели) равна \( q^2 \).

По условию события:

• Вероятность хотя бы одного попадания при 2 выстрелах дана как 0.64.
• Тогда вероятность противоположного события (нулевого количества попаданий, то есть два промаха) равна \( 1 - 0.64 = 0.36 \).

Таким образом:

\[ q^2 = 0.36 \]

Найдём \( q \), взяв корень из 0.36:

\[ q = \sqrt{0.36} = 0.6 \]

Так как \( q = 1 - p \), то вероятность попадания одного выстрела равна:

\[ p = 1 - 0.6 = 0.4 \]

Таким образом, вероятность одного попадания за выстрел составляет \( 0.4 \).

Шаг 2: Поиск вероятности трёх попаданий при пяти выстрелах

Наша цель — найти вероятность ровно трёх попаданий при пяти выстрелах. Это классическая задача на использование биномиального распределения. Формула биномиального распределения:

\[ P(k \text{ попаданий из } n \text{ выстрелов}) = C^n_k \cdot p^k \cdot q^{n-k} \]

где:

• \( n = 5 \) — общее количество выстрелов;
• \( k = 3 \) — количество нужных попаданий;
• \( p = 0.4 \) — вероятность попадания при одном выстреле;
• \( q = 1 - p = 0.6 \) — вероятность промаха;
• \( C^n_k \) — биномиальный коэффициент, равный числу способов выбрать \( k \) попаданий из \( n \) выстрелов, который вычисляется как:

\[ C^n_k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

Посчитаем биномиальный коэффициент:

\[ C^5_3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 \]

Теперь подставим все значения в формулу биномиального распределения:

\[ P(3 \text{ попадания из } 5 \text{ выстрелов}) = 10 \cdot (0.4)^3 \cdot (0.6)^2 \]

Посчитаем каждое слагаемое отдельно:

\[ 0.4^3 = 0.4 \times 0.4 \times 0.4 = 0.064 \]

\[ 0.6^2 = 0.6 \times 0.6 = 0.36 \]

Теперь вернёмся к общей формуле вероятности:

\[ P(3 \text{ попадания из } 5 \text{ выстрелов}) = 10 \cdot 0.064 \cdot 0.36 = 10 \times 0.02304 = 0.2304 \]

Ответ:

Вероятность трёх попаданий при пяти выстрелах равна 0.2304.