Найти вероятность того, что за два часа будет не менее трёх ошибочных соединений

Предмет: Теория вероятностей
Раздел: Случайные величины, распределение Пуассона

Условие задачи:

Среднее число ошибочных соединений за смену (8 часов) равно 16.
Найти вероятность того, что за два часа будет не менее трёх ошибочных соединений.

Шаг 1: Определим интенсивность (параметр λ) распределения Пуассона

Поскольку количество ошибочных соединений за определённый промежуток времени можно считать редким случайным событием, которое происходит независимо, и вероятность не зависит от времени, то модель распределения Пуассона здесь применима.

Пусть:

• За 8 часов — 16 ошибок
• Тогда за 1 час — \frac{16}{8} = 2 ошибки
• За 2 часа — \lambda = 2 \cdot 2 = 4 ошибки

Шаг 2: Вероятность по распределению Пуассона

Формула распределения Пуассона:

 P(k; \lambda) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} 

Нам нужно найти вероятность того, что за два часа будет не менее трех ошибок:

 P(k \geq 3) = 1 - P(0) - P(1) - P(2) 

Где \lambda = 4

Шаг 3: Вычислим вероятности

Вычислим:

• P(0) = \frac{4^0 e^{-4}}{0!} = e^{-4}
• P(1) = \frac{4^1 e^{-4}}{1!} = 4e^{-4}
• P(2) = \frac{4^2 e^{-4}}{2!} = \frac{16}{2}e^{-4} = 8e^{-4}

Теперь подставим:

 P(k \geq 3) = 1 - (e^{-4} + 4e^{-4} + 8e^{-4}) = 1 - 13e^{-4} 

Численно:

• e^{-4} \approx 0.0183
• 13e^{-4} \approx 13 \cdot 0.0183 \approx 0.2379
• P(k \geq 3) \approx 1 - 0.2379 = 0.7621

Ответ:

P(k \geq 3) \approx 0.7621

Вероятность того, что за два часа будет не менее трёх ошибочных соединений, примерно равна 0.7621 (или 76.21%).