Найти вероятность того, что за 100 часов наступит не менее 3 отказов

Мы имеем задачу из части "Теория вероятностей и математическая статистика", относящуюся к расчету по пуассоновскому распределению, так как речь идет о моделировании редких событий (отказы радиоэлектронной аппаратуры).

Обозначения и данные:

• Интенсивность потока отказов \( \lambda = 0.002 \) отказа в час.
• Интервал времени \( t = 100 \) часов.
• Число отказов \( k \geq 3 \).

Сначала рассчитаем среднее число отказов за 100 часов, что является параметром для распределения Пуассона:

\[ \lambda_t = \lambda \cdot t = 0.002 \cdot 100 = 0.2 \]

Итак, параметр \( \lambda_t = 0.2 \).

Рассчитываем вероятность получить \( k \) отказов по формуле распределения Пуассона:

\[ P(k, \lambda_t) = \frac{{(\lambda_t)^k \cdot e^{-\lambda_t}}}{{k!}} \]

Но нам нужно найти вероятность того, что за 100 часов произойдет не менее 3 отказов. Это означает, что нам необходимо вычислить вероятность событий для \( k = 0 \), \( k = 1 \) и \( k = 2 \), а затем вычесть сумму этих вероятностей из 1 (так как сумма всех возможных исходов равна единице).

Шаг 1: Вычисление вероятности для \( k = 0 \):

\[ P(0, 0.2) = \frac{{(0.2)^0 \cdot e^{-0.2}}}{{0!}} = e^{-0.2} \approx 0.8187 \]

Шаг 2: Вычисление вероятности для \( k = 1 \):

\[ P(1, 0.2) = \frac{{(0.2)^1 \cdot e^{-0.2}}}{{1!}} = 0.2 \cdot 0.8187 \approx 0.1637 \]

Шаг 3: Вычисление вероятности для \( k = 2 \):

\[ P(2, 0.2) = \frac{{(0.2)^2 \cdot e^{-0.2}}}{{2!}} = \frac{{0.04 \cdot 0.8187}}{2} \approx 0.0164 \]

Шаг 4: Нахождение суммы вероятностей для \( k = 0 \), \( k = 1 \) и \( k = 2 \):

\[ P(k < 3) = P(0, 0.2) + P(1, 0.2) + P(2, 0.2) \]

\[ P(k < 3) = 0.8187 + 0.1637 + 0.0164 \approx 0.9988 \]

Шаг 5: Вероятность \( P(k \geq 3) \):

\[ P(k \geq 3) = 1 - P(k < 3) \approx 1 - 0.9988 = 0.0012 \]

Окончательный ответ:

Вероятность того, что за 100 часов произойдет не менее 3 отказов, примерно равна 0.0012, или 0.12\%.