Предмет: Теория вероятностей
Раздел: Комбинаторика и условная вероятность
Задача: Есть два ящика. В первом — 4 белых и 2 чёрных шара, во втором — 2 белых и 3 чёрных шара. Из первого во второй переложены три шара. Необходимо найти вероятность того, что, взяв один шар из второго ящика, мы вытащим чёрный.
Шаг 1. Определим все возможные комбинации переноса шаров.
Из первого во второй переложены 3 шара. Все шары могут быть белыми или черными в различных комбинациях. Рассмотрим все ситуации, чтобы найти вероятности каждой из них:
- В ситуации, когда все 3 перенесённых шара белые.
- 2 белых и 1 чёрный перенесены.
- 1 белый и 2 чёрных перенесены.
- Все 3 перенесённых шара чёрные.
Шаг 2. Найдём количество способов перенести шары для каждой ситуации.
Сначала нужно рассчитать количество комбинаций, с которыми шары могут быть перенесены. Переносим два типа объектов (4 белых и 2 чёрных) в количестве 3 штук. Используя комбинаторику, для определения количества способов выбора комбинаций:
- Все 3 шара белые:
\[ C(4, 3) = \frac{4!}{3!(4-3)!} = 4 \] (4 способа)
- 2 белых и 1 чёрный:
\(C(4, 2) = 6\)
\(C(2, 1) = 2\)
По правилу умножения комбинаций, количество способов:
\[ 6 \times 2 = 12 \]
- 1 белый и 2 чёрных:
\(C(4, 1) = 4\)
\(C(2, 2) = 1\)
Кол-во способов:
\[ 4 \times 1 = 4 \]
- Все 3 шара чёрные:
Выбор невозможен, так как в первом ящике всего 2 чёрных шара. Следовательно, это случай не учитывается.
Шаг 3. Определим новые составы второго ящика для каждого случая.
Теперь для каждого возможного исхода переложенных шаров рассмотрим новые вероятности вытаскивания черного шара из второго ящика.
- 3 белых перенесено: Во втором ящике было 2 белых и 3 чёрных, стало 5 белых и 3 чёрных.
\[ P(\text{чёрный}) = \frac{3}{8} \]
- 2 белых и 1 чёрный перенесены: Было 2 белых и 3 чёрных, стало 4 белых и 4 чёрных.
\[ P(\text{чёрный}) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \]
- 1 белый и 2 чёрных перенесены: Было 2 белых и 3 чёрных, стало 3 белых и 5 чёрных.
\[ P(\text{чёрный}) = \frac{5}{8} \]
Шаг 4. Найдём полную вероятность.
Теперь используем формулу полной вероятности для нахождения искомой вероятности. Вероятность события будет суммой произведений вероятностей каждого исхода перекладывания шаров на вероятность вытаскивания чёрного шара в этом исходе.
Полная вероятность:
\[ P(\text{чёрный}) = P(\text{чёрный} | 3 \text{ белых}) \cdot P(3 \text{ белых}) + P(\text{чёрный} | 2 \text{ белых и 1 чёрный}) \cdot P(2 \text{ белых и 1 чёрный}) + P(\text{чёрный} | 1 \text{ белый и 2 чёрных}) \cdot P(1 \text{ белый и 2 чёрных}) \]
Вероятности каждого из исходов (из количества комбинаций переноса):
- Для \(P(3 \text{ белых})\): \(\frac{4}{20} = 0.2\)
- Для \(P(2 \text{ белых и 1 чёрный})\): \(\frac{12}{20} = 0.6\)
- Для \(P(1 \text{ белый и 2 чёрных})\): \(\frac{4}{20} = 0.2\)
Подставляя в формулу:
\[ P(\text{чёрный}) = \left(\frac{3}{8} \times 0.2\right) + \left(\frac{1}{2} \times 0.6\right) + \left(\frac{5}{8} \times 0.2\right) \]
\[ P(\text{чёрный}) = 0.075 + 0.3 + 0.125 = 0.5 \]
Ответ: Искомая вероятность того, что вынутый из второго ящика шар окажется чёрным, равна 0.5 или 50%.