Найти вероятность того, что вышел из строя только один из приборов вследствие повышения напряжения

Предмет: Теория вероятностей
Раздел: Условные вероятности, полная вероятность, комбинаторика событий

Условие задачи:

• Вероятность того, что напряжение превысит номинальное значение:
  P(A) = 0.3, где событие A — "напряжение превысило номинал".

• При повышенном напряжении:

  • Вероятность выхода из строя первого прибора: P(B_1 | A) = 0.1
  • Вероятность выхода из строя второго прибора: P(B_2 | A) = 0.3

Нужно найти вероятность того, что вышел из строя только один из приборов вследствие повышения напряжения.

Анализ:

Рассмотрим события:

• B_1 — первый прибор вышел из строя
• B_2 — второй прибор вышел из строя

Нас интересует событие:

• "Только один прибор вышел из строя при повышенном напряжении", то есть:
  • Либо вышел из строя только первый прибор: B_1 \cap \overline{B_2},
  • Либо вышел из строя только второй прибор: \overline{B_1} \cap B_2

Таким образом, при условии события A (повышенное напряжение), искомая вероятность:

 P(\text{только один прибор вышел из строя} | A) = P(B_1 \cap \overline{B_2} | A) + P(\overline{B_1} \cap B_2 | A) 

Предположение:

Пусть выход из строя приборов при повышенном напряжении — независимые события. Тогда:

 P(B_1 \cap \overline{B_2} | A) = P(B_1 | A) \cdot P(\overline{B_2} | A) = 0.1 \cdot (1 - 0.3) = 0.1 \cdot 0.7 = 0.07 

 P(\overline{B_1} \cap B_2 | A) = P(\overline{B_1} | A) \cdot P(B_2 | A) = (1 - 0.1) \cdot 0.3 = 0.9 \cdot 0.3 = 0.27 

Суммируем:

 P(\text{только один прибор вышел из строя} | A) = 0.07 + 0.27 = 0.34 

Теперь учитываем, что это возможно только при повышенном напряжении, которое происходит с вероятностью 0.3. Тогда полная вероятность:

 P(\text{только один прибор вышел из строя}) = P(A) \cdot P(\text{только один прибор вышел из строя} | A) = 0.3 \cdot 0.34 = 0.102 

Ответ:

Вероятность того, что вследствие повышения напряжения выйдет из строя только один прибор, равна
0.102