Найти вероятность того, что выбранный студент отличник

Предмет: Теория вероятностей
Раздел: Формула Байеса, полная вероятность

Условие задачи:

В группе студентов:

• 10% отличников,
• 40% хорошистов,
• 50% троечников.

Вероятности сдать тест:

• Отличник: 0.9
• Хорошист: 0.7
• Троечник: 0.4

Наугад выбранный студент сдал тест. Найти вероятность того, что он — отличник.

Обозначим:

• Событие A: студент сдал тест.
• Событие B₁: студент — отличник.
• Событие B₂: студент — хорошист.
• Событие B₃: студент — троечник.

Дано:

• [P(B_1) = 0.1], [P(B_2) = 0.4], [P(B_3) = 0.5]
• [P(A|B_1) = 0.9], [P(A|B_2) = 0.7], [P(A|B_3) = 0.4]

Найти: [P(B_1|A)] — вероятность того, что студент — отличник, при условии, что он сдал тест.

Решение:

Используем формулу Байеса:

 P(B_1|A) = \frac{P(A|B_1) \cdot P(B_1)}{P(A)} 

Сначала найдём полную вероятность события A (студент сдал тест):

 P(A) = P(A|B_1) \cdot P(B_1) + P(A|B_2) \cdot P(B_2) + P(A|B_3) \cdot P(B_3) 

 P(A) = 0.9 \cdot 0.1 + 0.7 \cdot 0.4 + 0.4 \cdot 0.5 = 0.09 + 0.28 + 0.2 = 0.57 

Теперь подставим в формулу Байеса:

 P(B_1|A) = \frac{0.9 \cdot 0.1}{0.57} = \frac{0.09}{0.57} \approx 0.1579 

Ответ:

[P(B_1|A) \approx 0.158] — вероятность того, что успешно сдавший тест студент является отличником.