Найти вероятность того, что выбранный шар — белый

Предмет: Теория вероятностей
Раздел: Формула полной вероятности и формула Байеса

Рассмотрим задание 8.2.

Условие:

Имеются две урны, в каждой из которых 5 белых и 3 черных шара.
Из каждой урны извлекают по одному шару, и затем из этих двух шаров наугад берут один.
Найти вероятность того, что выбранный шар — белый.

Решение:

Обозначим события:

• Урна 1: содержит 5 белых и 3 черных шара.
• Урна 2: содержит 5 белых и 3 черных шара.
• Из каждой урны извлекается по одному шару.
• Из двух извлечённых шаров случайным образом выбирается один.

Найти: вероятность того, что выбранный шар — белый.

Рассмотрим вероятности:

Вероятность вытащить белый шар из одной урны:

P(B) = \frac{5}{8}

Вероятность вытащить черный шар:

P(C) = \frac{3}{8}

Теперь рассмотрим все возможные пары шаров, извлечённых из двух урн:

1. Оба шара белые:
   Вероятность:
   P(B_1 \cap B_2) = \frac{5}{8} \cdot \frac{5}{8} = \frac{25}{64}
   Тогда из двух белых шаров выбираем один — он точно белый.
   Условная вероятность: 1

2. Один белый, один черный:
   Два случая:

   • Белый из первой, черный из второй:
     \frac{5}{8} \cdot \frac{3}{8} = \frac{15}{64}
   • Черный из первой, белый из второй:
     \frac{3}{8} \cdot \frac{5}{8} = \frac{15}{64} Суммарная вероятность:
     \frac{15}{64} + \frac{15}{64} = \frac{30}{64}
     Вероятность выбрать белый шар из пары (белый, черный):
     \frac{1}{2}

3. Оба шара черные:
   \frac{3}{8} \cdot \frac{3}{8} = \frac{9}{64}
   Вероятность выбрать белый из двух черных: 0

Теперь используем формулу полной вероятности:

 P(\text{белый выбран}) = \underbrace{\frac{25}{64} \cdot 1}_{\text{оба белые}} + \underbrace{\frac{30}{64} \cdot \frac{1}{2}}_{\text{один белый}} + \underbrace{\frac{9}{64} \cdot 0}_{\text{оба черные}} = \frac{25}{64} + \frac{15}{64} = \frac{40}{64} = \frac{5}{8} 

Ответ:

\frac{5}{8} — вероятность того, что выбранный шар белый.