Найти вероятность того, что выбранное яблоко - зелёное

Предмет: Математика
Раздел: Теория вероятностей

Условие задачи:

• В первой корзине: 5 зеленых и 11 красных яблок.
• Во второй корзине: 8 зеленых и 8 красных яблок.
• Из каждой корзины наугад извлекается по одному яблоку.
• Из этих двух яблок наугад выбирается одно.

Найти вероятность того, что выбранное яблоко — зелёное.

Шаг 1: Обозначим события

Пусть:

• Корзина 1: 5 зелёных, 11 красных → всего 16 яблок.
• Корзина 2: 8 зелёных, 8 красных → всего 16 яблок.

Обозначим события:

• A_1 — из первой корзины выбрано зелёное яблоко.
• A_2 — из второй корзины выбрано зелёное яблоко.

Нас интересует вероятность того, что из двух выбранных яблок (по одному из каждой корзины), а затем одного из них — окажется зелёное.

Шаг 2: Найдём вероятности выбора яблок из каждой корзины

• P(A_1) = \frac{5}{16} — вероятность, что из первой корзины выбрано зелёное яблоко.
• P(\overline{A_1}) = \frac{11}{16} — красное яблоко из первой корзины.
• P(A_2) = \frac{8}{16} = \frac{1}{2} — зелёное из второй корзины.
• P(\overline{A_2}) = \frac{8}{16} = \frac{1}{2} — красное из второй корзины.

Шаг 3: Перечислим все возможные пары яблок

1. Зелёное из первой и зелёное из второй корзины.
2. Зелёное из первой и красное из второй.
3. Красное из первой и зелёное из второй.
4. Красное из первой и красное из второй.

Для каждой пары найдём вероятность и вероятность того, что из этой пары выбрано зелёное яблоко.

Шаг 4: Рассчитаем полную вероятность

Случай 1: оба яблока зелёные

• Вероятность такой пары:
  P_{11} = \frac{5}{16} \cdot \frac{8}{16} = \frac{40}{256}
• Из двух зелёных выбираем одно — оно точно зелёное:
  P(Z|11) = 1

Случай 2: зелёное из первой, красное из второй

• Вероятность:
  P_{12} = \frac{5}{16} \cdot \frac{8}{16} = \frac{40}{256}
• Вероятность выбрать зелёное из пары (зелёное, красное):
  P(Z|12) = \frac{1}{2}

Случай 3: красное из первой, зелёное из второй

• Вероятность:
  P_{21} = \frac{11}{16} \cdot \frac{8}{16} = \frac{88}{256}
• Вероятность выбрать зелёное из пары (красное, зелёное):
  P(Z|21) = \frac{1}{2}

Случай 4: оба красные

• Вероятность:
  P_{22} = \frac{11}{16} \cdot \frac{8}{16} = \frac{88}{256}
• Вероятность выбрать зелёное из пары (красное, красное):
  P(Z|22) = 0

Шаг 5: Формула полной вероятности

 P(Z) = P_{11} \cdot 1 + P_{12} \cdot \frac{1}{2} + P_{21} \cdot \frac{1}{2} + P_{22} \cdot 0 

Подставим значения:

 P(Z) = \frac{40}{256} \cdot 1 + \frac{40}{256} \cdot \frac{1}{2} + \frac{88}{256} \cdot \frac{1}{2} + \frac{88}{256} \cdot 0 

 P(Z) = \frac{40}{256} + \frac{20}{256} + \frac{44}{256} = \frac{104}{256} 

Сократим:

 P(Z) = \frac{13}{32} 

✅ Ответ:

Вероятность того, что выбранное яблоко будет зелёным, равна
\frac{13}{32}.