Найти вероятность того, что варианты 1-й и 2-й достанутся первым двум студентам

Предмет: Математика

Раздел: Теория вероятностей

Условие задачи:

Десять вариантов контрольной работы распределяются случайным образом среди восьми студентов, каждый студент получает по одному варианту. Нужно найти вероятность следующего события:

• а) Варианты 1-й и 2-й достанутся первым двум студентам.

Решение:

Шаг 1: Общее количество способов распределить варианты

Всего у нас 10 вариантов контрольных, которые нужно распределить среди 8 студентов. Каждый студент получает по одному варианту, следовательно, всего будет 8 независимых выборов, так как у нас 8 студентов.

Количество способов распределить варианты контрольных среди студентов равно числу размещений \( A(10, 8) \) — это количество способов выбрать 8 вариантов из 10, учитывая порядок распределения.

\[ A(10, 8) = \frac{10!}{(10-8)!} = \frac{10!}{2!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2!}{2!} = 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 1814400 \]

Таким образом, число всех возможных способов распределения вариантов — это \( 1{,}814{,}400 \).

Шаг 2: Количество благоприятных исходов

Теперь нас интересует только те исходы, при которых первые два варианта контрольных (1-й и 2-й) будут у первых двух студентов соответственно.

• Первый студент должен получить 1-й вариант, а второй студент — 2-й вариант.
• После этого остальные 6 студентов могут получить любые 6 вариантов из оставшихся 8 вариантов контроля. То есть, мы сначала закрепляем 1-й и 2-й варианты за первыми двумя студентами, и остаются ещё 6 студентов и \( 8 - 2 = 6 \) вариантов.

Число вариантов для распределения этих 6 оставшихся студентов — это просто \( 6! \), поскольку эти 6 студентов получают оставшиеся 6 вариантов.

\[ 6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720 \]

Шаг 3: Вероятность события

Чтобы найти вероятность того, что первые два студента получат 1-й и 2-й варианты, нужно вычислить отношение числа благоприятных исходов к числу всех возможных исходов:

\[ P = \frac{\text{благоприятные исходы}}{\text{все возможные исходы}} = \frac{6!}{A(10, 8)} = \frac{720}{1{,}814{,}400} = \frac{1}{2520} \]

Ответ:

Вероятность того, что первые два студента получат 1-й и 2-й варианты, равна \( \frac{1}{2520} \).