Найти вероятность того, что в сообщении не более двух искажений

Предмет: Теория вероятностей
Раздел: Схемы повторных испытаний (биномиальное распределение)

Задача:

Дано:

• Вероятность искажения одного знака: p = 0{,}1
• Сообщение состоит из 3 знаков, то есть n = 3
• Не более двух искажений — это значит 0, 1 или 2 искажённых символа.

Найти вероятность того, что в сообщении не более двух искажений, то есть:

P(X \leq 2)

Где X — число искажённых символов, которое подчиняется биномиальному распределению:

X \sim B(n = 3, p = 0{,}1)

Формула биномиального распределения:

 P(X = k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k} 

Найдём по формуле вероятности для X = 0, X = 1, X = 2 и сложим их:

1. P(X = 0):

 P(X = 0) = C_3^0 \cdot (0{,}1)^0 \cdot (0{,}9)^3 = 1 \cdot 1 \cdot 0{,}729 = 0{,}729 

2. P(X = 1):

 P(X = 1) = C_3^1 \cdot (0{,}1)^1 \cdot (0{,}9)^2 = 3 \cdot 0{,}1 \cdot 0{,}81 = 0{,}243 

3. P(X = 2):

 P(X = 2) = C_3^2 \cdot (0{,}1)^2 \cdot (0{,}9)^1 = 3 \cdot 0{,}01 \cdot 0{,}9 = 0{,}027 

Суммарная вероятность:

 P(X \leq 2) = P(0) + P(1) + P(2) = 0{,}729 + 0{,}243 + 0{,}027 = 0{,}999 

Ответ:
Вероятность того, что сообщение содержит не более двух искажений:
\boxed{0{,}999}