Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
Заполните, пожалуйста, данные для автора:
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
Два стрелка независимо друг от друга сделали по одному выстрелу в мишень. Вероятности их попадания в мишень соответ-ственно равны 0,75 (1-й стрелок) и 0,80 (2-й стрелок). После стрельбы в мишени обнаружена одна пробоина. Какова вероятность того, что в мишень попал 2-й стрелок?
Предмет: Теория вероятностей
Раздел предмета: Формула полной вероятности и формула Байеса
Два стрелка делают выстрелы независимо друг от друга. Вероятности попадания в мишень для первого стрелка: [P(A_1) = 0.75], для второго стрелка: [P(A_2) = 0.80]. В мишени обнаружена одна пробоина. Требуется найти вероятность того, что в мишень попал второй стрелок, то есть [P(A_2 | B)], где событие [B] означает "в мишени обнаружена одна пробоина".
Событие [B] ("в мишени одна пробоина") может произойти при двух условиях:
Эти два случая являются несовместными, поэтому их вероятности суммируются.
Вероятность, что первый стрелок попал, а второй промахнулся: [P(A_1 \cap \overline{A_2}) = P(A_1) \cdot P(\overline{A_2}) = P(A_1) \cdot (1 - P(A_2))].
Вероятность, что второй стрелок попал, а первый промахнулся: [P(A_2 \cap \overline{A_1}) = P(A_2) \cdot P(\overline{A_1}) = P(A_2) \cdot (1 - P(A_1))].
Следовательно, [P(B) = P(A_1 \cap \overline{A_2}) + P(A_2 \cap \overline{A_1})].
Подставим значения: \[ P(B) = P(A_1) \cdot (1 - P(A_2)) + P(A_2) \cdot (1 - P(A_1)) \] \[ P(B) = 0.75 \cdot (1 - 0.80) + 0.80 \cdot (1 - 0.75) \] \[ P(B) = 0.75 \cdot 0.20 + 0.80 \cdot 0.25 = 0.15 + 0.20 = 0.35. \]
Формула Байеса: \[ P(A_2 | B) = \frac{P(A_2 \cap B)}{P(B)}. \]
Событие [A_2 \cap B] соответствует случаю, когда второй стрелок попал, а первый промахнулся: \[ P(A_2 \cap B) = P(A_2 \cap \overline{A_1}) = P(A_2) \cdot (1 - P(A_1)). \]
Подставим значения: \[ P(A_2 \cap B) = 0.80 \cdot (1 - 0.75) = 0.80 \cdot 0.25 = 0.20. \]
Теперь рассчитаем [P(A_2 | B)]: \[ P(A_2 | B) = \frac{P(A_2 \cap B)}{P(B)} = \frac{0.20}{0.35}. \]
Упростим: \[ P(A_2 | B) = \frac{20}{35} = \frac{4}{7} \approx 0.571. \]
Вероятность того, что в мишень попал второй стрелок, равна [P(A_2 | B) = \frac{4}{7} \approx 0.571] или 57.1%.