Найти вероятность того, что в книге из 400 страниц

Предмет: Теория вероятностей и математическая статистика (ТВиМС)
Раздел: Схемы испытаний, биномиальное распределение вероятностей

Задание 12:
Вероятность опечатки на странице равна 0,005. Найти вероятность того, что в книге из 400 страниц:
а) с опечатками будут 5 страниц
б) от 2 до 5 страниц

Решение:

Пусть:

• Общее число страниц: [n = 400]
• Вероятность опечатки на одной странице: [p = 0{,}005]
• Тогда вероятность отсутствия опечатки: [q = 1 - p = 0{,}995]

Здесь используется биномиальное распределение, так как:

• Количество испытаний фиксировано (400 страниц)
• Каждое испытание имеет два исхода: опечатка или нет
• Вероятность опечатки постоянна для каждой страницы
• Страницы независимы

Случайная величина [X] — число страниц с опечатками.
Тогда [X \sim Bin(n = 400, p = 0{,}005)]

Формула биномиального распределения:

 P(X = k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n - k} 

где [C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}]

а) Найти [P(X = 5)]

 P(X = 5) = C_{400}^5 \cdot (0{,}005)^5 \cdot (0{,}995)^{395} 

Для вычислений используем Python или калькулятор. Но можно воспользоваться приближением Пуассона, так как:

• [n] большое
• [p] маленькое
• [np = \lambda = 400 \cdot 0{,}005 = 2]

Тогда приближённое распределение Пуассона:

 P(X = k) \approx \frac{\lambda^k \cdot e^{-\lambda}}{k!} 

Для [k = 5], [\lambda = 2]:

 P(X = 5) \approx \frac{2^5 \cdot e^{-2}}{5!} = \frac{32 \cdot e^{-2}}{120} 

 e^{-2} \approx 0{,}1353 \Rightarrow P(X = 5) \approx \frac{32 \cdot 0{,}1353}{120} \approx \frac{4{,}33}{120} \approx 0{,}0361 

Ответ а): [P(X = 5) \approx 0{,}0361]

б) Найти [P(2 \leq X \leq 5)]

То есть:
 P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) 

Используем распределение Пуассона с [\lambda = 2]:

• [P(X = 2) = \frac{2^2 \cdot e^{-2}}{2!} = \frac{4 \cdot e^{-2}}{2} = 2 \cdot e^{-2} \approx 0{,}2706]
• [P(X = 3) = \frac{2^3 \cdot e^{-2}}{3!} = \frac{8 \cdot e^{-2}}{6} \approx 0{,}1804]
• [P(X = 4) = \frac{2^4 \cdot e^{-2}}{4!} = \frac{16 \cdot e^{-2}}{24} \approx 0{,}0902]
• [P(X = 5) \approx 0{,}0361] (из пункта а)

Суммируем:

 P(2 \leq X \leq 5) \approx 0{,}2706 + 0{,}1804 + 0{,}0902 + 0{,}0361 = 0{,}5773 

Ответ б): [P(2 \leq X \leq 5) \approx 0{,}5773]

✅ Итоговый ответ:

а) [P(X = 5) \approx 0{,}0361]
б) [P(2 \leq X \leq 5) \approx 0{,}5773]