Найти вероятность того, что в каждый вагон сядет по 4 пассажира

Предмет: Теория вероятностей
Раздел: Комбинаторика и классическое определение вероятности

Задача 5:

Двенадцать пассажиров наугад рассаживаются в трёх вагонах. Найти вероятность того, что в каждый вагон сядет по 4 пассажира.

Подробное решение:

У нас есть 12 пассажиров, которые случайным образом распределяются по 3 вагонам. Требуется найти вероятность того, что в каждом вагоне окажется ровно по 4 пассажира.

Шаг 1: Общее число способов рассадить пассажиров

Каждого из 12 пассажиров можно посадить в один из 3 вагонов. Тогда общее количество способов рассадки:

 N_{\text{total}} = 3^{12} 

Это все возможные варианты рассадки, без ограничений на количество человек в вагоне.

Шаг 2: Число благоприятных исходов (по 4 человека в каждом вагоне)

Найдём количество способов, при которых в каждый вагон попадает ровно по 4 человека.

Это задача на разбиение множества из 12 элементов (пассажиров) на 3 подмножества по 4 в каждом. Это комбинаторная задача на размещение без повторений с учетом одинаковых групп.

Количество таких способов:

 N_{\text{good}} = \frac{1}{3!} \cdot \binom{12}{4} \cdot \binom{8}{4} \cdot \binom{4}{4} 

Здесь:

• \binom{12}{4} — выбираем 4 пассажиров для первого вагона,
• \binom{8}{4} — из оставшихся 8 выбираем 4 для второго вагона,
• \binom{4}{4} — оставшиеся 4 идут в третий вагон,
• \frac{1}{3!} — делим на число перестановок вагонов, чтобы не считать одинаковые рассадки по-разному (ведь вагоны не различаются по номерам в этом контексте).

Вычислим численно:

 \binom{12}{4} = \frac{12!}{4! \cdot 8!} = 495 

 \binom{8}{4} = \frac{8!}{4! \cdot 4!} = 70 

 \binom{4}{4} = 1 

Тогда:

 N_{\text{good}} = \frac{1}{6} \cdot 495 \cdot 70 \cdot 1 = \frac{34650}{6} = 5775 

Шаг 3: Вероятность

Теперь вероятность того, что каждый вагон получит по 4 пассажира:

 P = \frac{N_{\text{good}}}{N_{\text{total}}} = \frac{5775}{3^{12}} = \frac{5775}{531441} 

Приблизительно:

 P \approx 0.01087 

Ответ:

 P = \frac{5775}{531441} \approx 0.01087 

Вероятность того, что в каждый вагон сядет по 4 пассажира, составляет примерно 1.087%.