Найти вероятность того, что в 1000 испытаниях частота наступления события отклонится от вероятности не более чем на 0,05

Предмет: Теория вероятностей и математическая статистика (ТВиМС)
Раздел: Предельные теоремы, частота события, неравенство Чебышёва

📌 Задание 11:

Вероятность наступления события в каждом эксперименте 0,4. Найти вероятность того, что в 1000 испытаниях частота наступления события отклонится от вероятности [p = 0{,}4] не более чем на 0,05.

🔍 Пояснение:

Рассматривается случай независимых испытаний (биномиальное распределение), где:

• Количество испытаний: n = 1000
• Вероятность успеха в одном испытании: p = 0{,}4
• Нас интересует вероятность того, что частота (относительная доля успехов) отклонится от p не более чем на 0{,}05, т.е.:

P\left(\left| \frac{X}{n} - p \right| \leq 0{,}05\right)

где X — число успехов в 1000 испытаниях.

✅ Решение:

Для оценки этой вероятности воспользуемся неравенством Чебышёва:

 P\left( \left| \frac{X}{n} - p \right| \geq \varepsilon \right) \leq \frac{p(1 - p)}{n \varepsilon^2} 

Следовательно:

 P\left( \left| \frac{X}{n} - p \right| \leq \varepsilon \right) \geq 1 - \frac{p(1 - p)}{n \varepsilon^2} 

Подставим данные:

• p = 0{,}4
• 1 - p = 0{,}6
• n = 1000
• \varepsilon = 0{,}05

Подставим в формулу:

 P\left( \left| \frac{X}{n} - 0{,}4 \right| \leq 0{,}05 \right) \geq 1 - \frac{0{,}4 \cdot 0{,}6}{1000 \cdot (0{,}05)^2} 

Вычислим:

• 0{,}4 \cdot 0{,}6 = 0{,}24
• (0{,}05)^2 = 0{,}0025
• 1000 \cdot 0{,}0025 = 2{,}5
• \frac{0{,}24}{2{,}5} = 0{,}096

Тогда:

 P\left( \left| \frac{X}{n} - 0{,}4 \right| \leq 0{,}05 \right) \geq 1 - 0{,}096 = 0{,}904 

✅ Ответ:

 P\left( \left| \frac{X}{n} - 0{,}4 \right| \leq 0{,}05 \right) \geq 0{,}904 

То есть, вероятность того, что частота наступления события в 1000 испытаниях отклонится от p = 0{,}4 не более чем на 0{,}05, составляет не менее 0{,}904.