Найти вероятность того, что в 1 раз будет выбран красный шар, во 2 раз — белый, а в 4 раз — черный

Определение предмета и раздела:

Предмет: Это задание относится к теории вероятностей, которая является частью математики.

Раздел предмета: Подраздел — классическая вероятность и формирование последовательностей событий.

Объяснение условий задачи:

1. В урне находятся 3 белых, 5 черных и 4 красных шара.
   • Всего шаров в урне: \( 3 + 5 + 4 = 12 \).
2. Из урны выбирают шары повторным способом — это значит, что каждый выбранный шар возвращается назад в урну, и состав набора шаров не изменяется. Следовательно, вероятность выбора одного шара не меняется от выбора к выбору.
3. Необходимо найти вероятность того, что:
   • в 1 раз будет выбран красный шар,
   • в 2 раз будет выбран белый шар,
   • в 4 раз будет выбран черный шар.

Понятие вероятности:

Вероятность события вычисляется по формуле: \[ P = \frac{\text{Благоприятные исходы}}{\text{Общее количество исходов}} \]

Вычисление:

Для каждого шага найдем вероятность того, что выбран нужный цвет шара:

1. Вероятность выбора красного шара в 1 раз:
   • В урне 4 красных шара.
   • Всего шаров 12.
   • Вероятность выбрать красный шар: \[ P_{\text{красный}} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \]
2. Вероятность выбора белого шара в 2 раз:
   • В урне 3 белых шара.
   • Всего шаров 12.
   • Вероятность выбрать белый шар: \[ P_{\text{белый}} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} \]
3. Вероятность выбора черного шара в 4 раз:
   • В урне 5 черных шаров.
   • Всего шаров 12.
   • Вероятность выбрать черный шар: \[ P_{\text{черный}} = \frac{5}{12} \]

Общая вероятность:

Так как процесс выбора повторный и вероятность каждого шага не зависит от предыдущих, то полная вероятность выполнения всех условий равна произведению вероятностей на каждом шаге:

\[ P = P_{\text{красный}} \times P_{\text{белый}} \times P_{\text{черный}} = \frac{1}{3} \times \frac{1}{4} \times \frac{5}{12} \]

Выполним вычисления:

\[ P = \frac{1 \times 1 \times 5}{3 \times 4 \times 12} = \frac{5}{144} \]

Ответ:

Вероятность того, что в 1 раз будет выбран красный шар, во 2 раз — белый, а в 4 раз — черный, равна \(\frac{5}{144}\).