Найти вероятность того, что у каждого игрока окажется ровно по одному тузу

Предмет: Теория вероятностей

Раздел: Комбинаторика и классическое определение вероятности

Дано:

• Колода из 52 карт.
• Раздается поровну четверым игрокам (по 13 карт каждому).
• Нужно найти вероятность того, что у каждого игрока окажется ровно по одному тузу.

Решение:

Общее число способов раздать 52 карты четырем игрокам по 13 карт:
 \text{Общее число раздач} = \frac{52!}{(13!)^4} 

Число благоприятных раздач:

1. Выбираем 4 туза и раздаем их каждому игроку (один туз на игрока) — единственный способ.
2. Оставшиеся 48 карт (не тузы) распределяются по 4 игрокам по 12 карт каждому. Это можно сделать следующим числом способов:
    \frac{48!}{(12!)^4} 

Вероятность равна отношению числа благоприятных раздач к общему числу раздач:
 P = \frac{\frac{48!}{(12!)^4}}{\frac{52!}{(13!)^4}} = \frac{48! \cdot (13!)^4}{(12!)^4 \cdot 52!} 

Упрощая дробь:
 P = \frac{\binom{48}{12,12,12,12}}{\binom{52}{13,13,13,13}} 

Подставляя биномиальные коэффициенты:
 P = \frac{\frac{48!}{(12!)^4}}{\frac{52!}{(13!)^4}} = \frac{48! \cdot (13!)^4}{52! \cdot (12!)^4} 

Численно можно вычислить с помощью программирования или калькулятора.

Ответ: Вероятность того, что у каждого из игроков окажется по одному тузу, вычисляется по вышеуказанной формуле.