Найти вероятность того, что у каждого игрока окажется ровно по одному тузу

Предмет: Теория вероятностей

Раздел: Комбинаторика и классическое определение вероятности

Дано:

• Колода из 52 карт.
• Раздается поровну четверым игрокам (по 13 карт каждому).
• Нужно найти вероятность того, что у каждого игрока окажется ровно по одному тузу.

Решение:

Общее число способов раздать 52 карты четырем игрокам по 13 карт:
$\text{Общее число раздач}=\frac{52!}{(13!{)}^4}$

Число благоприятных раздач:

1. Выбираем 4 туза и раздаем их каждому игроку (один туз на игрока) — единственный способ.
2. Оставшиеся 48 карт (не тузы) распределяются по 4 игрокам по 12 карт каждому. Это можно сделать следующим числом способов:
   $\frac{48!}{(12!{)}^4}$

Вероятность равна отношению числа благоприятных раздач к общему числу раздач:
$P=\frac{\frac{48!}{(12!{)}^4}}{\frac{52!}{(13!{)}^4}}=\frac{48!\cdot (13!{)}^4}{(12!{)}^4\cdot 52!}$

Упрощая дробь:
$P=\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{48}{12,12,12,12})}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{52}{13,13,13,13})}$

Подставляя биномиальные коэффициенты:
$P=\frac{\frac{48!}{(12!{)}^4}}{\frac{52!}{(13!{)}^4}}=\frac{48!\cdot (13!{)}^4}{52!\cdot (12!{)}^4}$

Численно можно вычислить с помощью программирования или калькулятора.

Ответ: Вероятность того, что у каждого из игроков окажется по одному тузу, вычисляется по вышеуказанной формуле.