Найти вероятность того, что три наиболее сильных игрока окажутся в разных группах

Предмет: Математика
Раздел: Теория вероятностей и комбинаторика

Задача:

В шахматном турнире участвуют 15 человек, которые по жребию распределяются в 3 группы по 5 человек. Найти вероятность того, что три наиболее сильных игрока окажутся в разных группах.

Решение:

Обозначим трёх наиболее сильных игроков как A, B и C. Всего 15 человек, которых случайным образом делят на 3 группы по 5 человек.

Нас интересует вероятность того, что игроки A, B и C окажутся в разных группах.

Шаг 1. Общее число способов распределить 15 человек на 3 группы по 5 человек

Общее число способов разбить 15 человек на 3 неупорядоченные группы по 5 человек:

 \frac{1}{3!} \cdot \frac{15!}{(5!)^3} 

Здесь:

• 15! — количество способов упорядочить всех участников,
• (5!)^3 — учёт перестановок внутри каждой группы,
• 3! — учёт перестановок самих групп (поскольку группы не различаются по названиям).

Шаг 2. Число благоприятных исходов — A, B и C в разных группах

Выберем, в какие группы попадут A, B и C. Поскольку они должны быть в разных группах, количество способов выбрать группы для A, B и C — это число перестановок из 3 различных групп:

 3! = 6 

После того как A, B и C распределены по разным группам, остаётся распределить оставшихся 12 человек по 3 группам, в которых уже по одному человеку (A, B и C). То есть, в каждую группу нужно добавить ещё по 4 человека (всего 12 человек).

Число способов распределить оставшихся 12 человек на 3 группы по 4 человека:

 \frac{1}{3!} \cdot \frac{12!}{(4!)^3} 

Итак, общее число благоприятных исходов:

 6 \cdot \left( \frac{1}{3!} \cdot \frac{12!}{(4!)^3} \right) 

Шаг 3. Вероятность

Теперь делим число благоприятных исходов на общее число исходов:

 P = \frac{6 \cdot \left( \frac{1}{3!} \cdot \frac{12!}{(4!)^3} \right)}{\frac{1}{3!} \cdot \frac{15!}{(5!)^3}} = \frac{6 \cdot \frac{12!}{(4!)^3}}{\frac{15!}{(5!)^3}} 

Упростим выражение:

 P = 6 \cdot \frac{12!}{(4!)^3} \cdot \frac{(5!)^3}{15!} 

Теперь подставим значения факториалов:

• 4! = 24
• 5! = 120
• 12! = 479001600
• 15! = 1307674368000

Подставим:

 P = 6 \cdot \frac{479001600}{24^3} \cdot \frac{120^3}{1307674368000} 

Посчитаем численно:

• 24^3 = 13824
• 120^3 = 1728000

Теперь:

 P = 6 \cdot \frac{479001600}{13824} \cdot \frac{1728000}{1307674368000} 

Посчитаем поэтапно:

1. \frac{479001600}{13824} ≈ 34640
2. \frac{1728000}{1307674368000} ≈ 1.321 \cdot 10^{-6}

Теперь:

 P ≈ 6 \cdot 34640 \cdot 1.321 \cdot 10^{-6} ≈ 0.274 

Ответ:

Вероятность того, что три наиболее сильных игрока окажутся в разных группах:

 \boxed{0.274}  или примерно 27.4%.