Найти вероятность того, что: а) только один из трёх образцов окажется с повреждённой упаковкой

Предмет: Теория вероятностей
Раздел: Законы распределения вероятностей, независимые события

Условие задачи:

Имеется три вида товаров. Вероятности повреждения упаковок при транспортировке:

• Первый товар: [p_1 = 0{,}01]
• Второй товар: [p_2 = 0{,}05]
• Третий товар: [p_3 = 0{,}02]

Необходимо найти вероятность того, что:

а) Только один из трёх образцов окажется с повреждённой упаковкой
б) Ни один из образцов не окажется с повреждённой упаковкой

Решение:

Обозначим:

• [q_1 = 1 - p_1 = 0{,}99] — упаковка первого товара не повреждена
• [q_2 = 1 - p_2 = 0{,}95]
• [q_3 = 1 - p_3 = 0{,}98]

Часть а) Только один из трёх повреждён

Такой результат может быть достигнут тремя способами:

1. Повреждён только первый товар: [p_1 \cdot q_2 \cdot q_3]
2. Повреждён только второй товар: [q_1 \cdot p_2 \cdot q_3]
3. Повреждён только третий товар: [q_1 \cdot q_2 \cdot p_3]

Суммируем эти вероятности:

 \begin{align*} P_{\text{только один повреждён}} &= p_1 \cdot q_2 \cdot q_3 + q_1 \cdot p_2 \cdot q_3 + q_1 \cdot q_2 \cdot p_3 \ &= 0{,}01 \cdot 0{,}95 \cdot 0{,}98 + 0{,}99 \cdot 0{,}05 \cdot 0{,}98 + 0{,}99 \cdot 0{,}95 \cdot 0{,}02 \ &= 0{,}00931 + 0{,}04851 + 0{,}01881 \ &= 0{,}07663 \end{align*} 

Часть б) Ни один не повреждён

Это означает, что все три упаковки остались целыми:

 P_{\text{все целы}} = q_1 \cdot q_2 \cdot q_3 = 0{,}99 \cdot 0{,}95 \cdot 0{,}98 = 0{,}92169 

Ответ:

а) Вероятность того, что только один из трёх повреждён:
[P = 0{,}07663]

б) Вероятность того, что ни один не повреждён:
[P = 0{,}92169]