Определение предмета и раздела:
Это задание относится к предмету математика, раздел теория вероятностей и геометрия. Задача затрагивает концепции площади фигур и вероятности на геометрических областях.
Условие задачи:
- Дана фигура: квадрат.
- Вокруг квадрата описан круг (это значит, что круг касается всех вершин квадрата).
- Внутри квадрата случайным образом выбирается точка.
- Нужно найти вероятность того, что точка принадлежит кругу.
Решение:
- Обозначим длину стороны квадрата за \(a\).
Шаг 1: Найдем радиус описанного вокруг квадрата круга.
- Чтобы описать круг вокруг квадрата, его радиус будет равен расстоянию от центра квадрата до любой из его вершин.
- Квадрат имеет диагональ, которая соединяет две противоположные вершины и проходит через центр квадрата. Используя свойства квадрата, знаем, что диагональ квадрата равна \(\sqrt{2} \times a\) (это формула длины диагонали квадрата, где \(a\) — длина стороны квадрата).
- Поскольку радиус описанного круга — это половина диагонали, радиус круга \(R\) будет равен:
\[ R = \frac{\sqrt{2} \times a}{2} \]
Шаг 2: Вычислим площадь квадрата и круга.
- Площадь квадрата \(S_{\text{квадрата}}\) равна:
\[ S_{\text{квадрата}} = a^2 \]
- Площадь круга \(S_{\text{круга}}\) с радиусом \(R = \frac{\sqrt{2} \times a}{2}\) равна:
\[ S_{\text{круга}} = \pi R^2 = \pi \left(\frac{\sqrt{2} \times a}{2}\right)^2 = \pi \times \frac{2a^2}{4} = \frac{\pi a^2}{2} \]
Шаг 3: Найдем вероятность.
- Вероятность того, что случайная точка, выбранная внутри квадрата, попадет в круг, равна отношению площади круга к площади квадрата:
\[ P = \frac{S_{\text{круга}}}{S_{\text{квадрата}}} = \frac{\frac{\pi a^2}{2}}{a^2} = \frac{\pi}{2} \]
Ответ:
Вероятность того, что случайно выбранная точка в квадрате окажется внутри описанного круга, равна \(\frac{\pi}{2}\), что численно примерно равно 1.57, без единиц измерения.