Найти вероятность того, что точка принадлежит кругу

Определение предмета и раздела:

Это задание относится к предмету математика, раздел теория вероятностей и геометрия. Задача затрагивает концепции площади фигур и вероятности на геометрических областях.

Условие задачи:

• Дана фигура: квадрат.
• Вокруг квадрата описан круг (это значит, что круг касается всех вершин квадрата).
• Внутри квадрата случайным образом выбирается точка.
• Нужно найти вероятность того, что точка принадлежит кругу.

Решение:

1. Обозначим длину стороны квадрата за $\text{(}a\text{)}$.

Шаг 1: Найдем радиус описанного вокруг квадрата круга.

• Чтобы описать круг вокруг квадрата, его радиус будет равен расстоянию от центра квадрата до любой из его вершин.
• Квадрат имеет диагональ, которая соединяет две противоположные вершины и проходит через центр квадрата. Используя свойства квадрата, знаем, что диагональ квадрата равна $\text{(}\sqrt{2}\times a\text{)}$ (это формула длины диагонали квадрата, где $\text{(}a\text{)}$ — длина стороны квадрата).
• Поскольку радиус описанного круга — это половина диагонали, радиус круга $\text{(}R\text{)}$ будет равен: $\text{[}R=\frac{\sqrt{2}\times a}{2}\text{]}$

Шаг 2: Вычислим площадь квадрата и круга.

• Площадь квадрата $\text{(}{S}_{\text{квадрата}}\text{)}$ равна: $\text{[}{S}_{\text{квадрата}}=a^2\text{]}$
• Площадь круга $\text{(}{S}_{\text{круга}}\text{)}$ с радиусом $\text{(}R=\frac{\sqrt{2}\times a}{2}\text{)}$ равна: $\text{[}{S}_{\text{круга}}=\pi R^2=\pi {\left(\frac{\sqrt{2}\times a}{2}\right)}^2=\pi \times \frac{2a^2}{4}=\frac{\pi a^2}{2}\text{]}$

Шаг 3: Найдем вероятность.

• Вероятность того, что случайная точка, выбранная внутри квадрата, попадет в круг, равна отношению площади круга к площади квадрата: $\text{[}P=\frac{S_{\text{круга}}}{S_{\text{квадрата}}}=\frac{\frac{\pi a^2}{2}}{a^2}=\frac{\pi }{2}\text{]}$

Ответ:

Вероятность того, что случайно выбранная точка в квадрате окажется внутри описанного круга, равна $\text{(}\frac{\pi }{2}\text{)}$, что численно примерно равно $1.57$, без единиц измерения.