Найти вероятность того, что точка окажется вне вписанного в куб шара

Предмет: Теория вероятностей

Раздел: Геометрическая вероятность

Условие:

В куб случайным образом брошена точка. Найти вероятность того, что точка окажется вне вписанного в куб шара.

Решение:

1. Пусть длина ребра куба равна a.
2. Вписанный в куб шар – это шар, диаметр которого равен длине ребра куба, то есть его радиус:
   r = \frac{a}{2}.
3. Объем куба:
   V_{\text{куба}} = a^3.
4. Объем вписанного шара:
   V_{\text{шара}} = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi \left(\frac{a}{2}\right)^3 = \frac{4}{3} \pi \frac{a^3}{8} = \frac{\pi a^3}{6}.
5. Вероятность попадания точки в шар (отношение объемов):
   P_{\text{внутри}} = \frac{V_{\text{шара}}}{V_{\text{куба}}} = \frac{\frac{\pi a^3}{6}}{a^3} = \frac{\pi}{6}.
6. Вероятность того, что точка окажется вне шара:
   P_{\text{вне}} = 1 - P_{\text{внутри}} = 1 - \frac{\pi}{6}.

Ответ:

P_{\text{вне}} = 1 - \frac{\pi}{6}.