Предмет: Математика. Раздел: Теория вероятностей.
Задание:
Дано: 10 студентов. 3 студента знают ответы на все 20 вопросов, 4 студента знают ответы на 16 вопросов, 2 студента знают ответы на 10 вопросов, и 1 студент знает ответы на 5 вопросов.
Студент наугад выбирает два вопроса. Нужно найти вероятность того, что он сможет ответить на оба вопроса.
Решение:
- Поймём суть задачи:
Задача заключается в нахождении вероятности того, что студент, который выберет два вопроса наугад, сможет ответить на оба вопроса.
- Обозначим события:
Пусть:
- три студента способны ответить на все 20 вопросов (это студенты первой группы),
- четыре студента могут ответить на 16 вопросов (вторая группа),
- два студента — на 10 вопросов (третья группа),
- последний студент может ответить на 5 вопросов (четвёртая группа).
- Найдем общую вероятность:
Для того чтобы найти вероятность, что заданный студент ответит на оба вопроса, нужно вычислить вероятность для каждой группы, взяв во внимание количество студентов в каждой группе.
Пусть \(P_1\), \(P_2\), \(P_3\), \(P_4\) — это вероятности для каждой группы студентов соответственно.
- Вероятности для каждой группы:
- Для первой группы (3 студента):
они знают все 20 вопросов. Вероятность того, что студент сможет ответить на выбранные вопросы из 20, равна 1, так как они точно ответят на любой вопрос.
- Для второй группы (4 студента):
они знают 16 вопросов из 20. Следовательно, вероятность выбрать те вопросы, на которые они могут ответить, должна быть рассчитана.
Вероятность того, что выбранные два вопроса будут среди тех 16, на которые они могут ответить:
\[ P_2 = \frac{{16 \cdot 15}}{{20 \cdot 19}} \]
- Для третьей группы (2 студента):
они знают 10 вопросов из 20. Вероятность выбрать два известных вопроса из 10 будет вычислена как:
\[ P_3 = \frac{{10 \cdot 9}}{{20 \cdot 19}} \]
- Для четвёртой группы (1 студент):
он знает только 5 вопросов из 20. Вероятность выбрать два известных вопроса из 5:
\[ P_4 = \frac{{5 \cdot 4}}{{20 \cdot 19}} \]
- Средневзвешенная вероятность:
Чтобы вычислить итоговую вероятность, нужно учесть количество студентов в каждой группе. Средневзвешенная вероятность рассчитывается как сумма вероятностей для каждой группы, умноженная на количество студентов в каждой группе:
\[ P = \frac{3}{10} \cdot 1 + \frac{4}{10} \cdot \frac{16 \cdot 15}{20 \cdot 19} + \frac{2}{10} \cdot \frac{10 \cdot 9}{20 \cdot 19} + \frac{1}{10} \cdot \frac{5 \cdot 4}{20 \cdot 19} \]
- Рассчитаем каждую вероятность:
- Первая вероятность (для первой группы) равна \(1\).
- Вторая вероятность:
\[ P_2 = \frac{16 \cdot 15}{20 \cdot 19} = \frac{240}{380} = \frac{12}{19} \]
- Третья вероятность:
\[ P_3 = \frac{10 \cdot 9}{20 \cdot 19} = \frac{90}{380} = \frac{9}{38} \]
- Четвёртая вероятность:
\[ P_4 = \frac{5 \cdot 4}{20 \cdot 19} = \frac{20}{380} = \frac{1}{19} \]
- Подставляем обратно в формулу:
\[ P = \frac{3}{10} \cdot 1 + \frac{4}{10} \cdot \frac{12}{19} + \frac{2}{10} \cdot \frac{9}{38} + \frac{1}{10} \cdot \frac{1}{19} \]
Приведём к общему знаменателю и найдём итоговую вероятность:
\[ P = 0.3 + 0.2537 + 0.0237 + 0.0053 = 0.5827 \]
Ответ:
Вероятность того, что студент сможет ответить на оба выбранных вопроса, равна примерно 0.5827, или 58.27%.