Найти вероятность того, что студент будет присутствовать не менее чем на 76 занятиях

Предмет: Теория вероятностей и математическая статистика

Условие задачи:

Вероятность того, что студент появится на одном занятии, составляет \( p = 0.2 \). Всего в семестре 385 занятий, и требуется найти вероятность того, что студент будет присутствовать не менее чем на 76 занятиях.

Решение:

1. Модель задачи: Это задача на схему независимых повторных испытаний (схема Бернулли), где вероятность успеха в каждом испытании одна и та же. В данном случае:
   • Испытание — посещение одного занятия.
   • Успех — студент посетил занятие.
   • Вероятность успеха \( p = 0.2 \).
   • Общее число испытаний \( n = 385 \).
   • Интересует вероятность того, что студент посетит по крайней мере 76 занятий, т.е. случайная величина \( X \), которая распределена по биномиальному закону, где \( X \sim Binomial(n, p) \), и мы ищем \( P(X \geq 76) \).
2. Приближение с помощью нормального распределения: Для биномиальных распределений при достаточно большом \( n \) мы можем воспользоваться центральной предельной теоремой и аппроксимировать биномиальное распределение нормальным. Биномиальное распределение с параметрами \( n \) и \( p \) может быть приближено нормальным распределением:
   \[ X \sim N(\mu, \sigma^2), \]
   где:
   • Математическое ожидание (среднее): \( \mu = n \cdot p = 385 \cdot 0.2 = 77 \),
   • Дисперсия: \( \sigma^2 = n \cdot p \cdot (1 - p) = 385 \cdot 0.2 \cdot 0.8 = 61.6 \),
   • Стандартное отклонение: \( \sigma = \sqrt{61.6} \approx 7.85 \).
3. Использование "правила непрерывности" (коррекция на 0.5): Применяя нормальное распределение, нужно вспомнить о так называемой "коррекции на 0.5", так как \( X \) дискретно. Должна быть выполнена следующая замена: Ищем \( P(X \geq 76) \) с использованием непрерывного нормального распределения. В этом случае \( P(X \geq 76) \) заменяется на \( P(X \geq 75.5) \).
4. Стандартизация случайной величины: Для нахождения вероятности используем стандартизацию:
   \[ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{75.5 - 77}{7.85} \approx \frac{-1.5}{7.85} \approx -0.191. \]
5. Использование таблицы стандартного нормального распределения: Теперь нужно найти вероятность \( P(Z \geq -0.191) \) для стандартного нормального распределения. По таблице стандартного нормального распределения для \( Z = -0.191 \) находим:
   \[ P(Z \geq -0.191) \approx 0.5757. \]
6. Ответ: Вероятность того, что студент будет присутствовать на не менее чем 76 занятиях, составляет приблизительно \( 0.5757 \), или 57.57%.

Вывод:

Ответ: Вероятность того, что студент будет присутствовать не менее чем на 76 занятиях, равна приблизительно 57.57\%.